เครื่องคำนวณเคิร์ล

คำนวณหาค่าเคิร์ล ∇×F ของสนามเวกเตอร์ 2D หรือ 3D ใดๆ พร้อมการขยายดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณไขว้ทีละขั้นตอน ป้อนฟังก์ชันส่วนประกอบ P, Q (และ R สำหรับ 3D) เพื่อรับค่าเคิร์ลเชิงสัญลักษณ์ ประเมินค่า ณ จุดที่กำหนด ระบุสนามที่ไม่มีการหมุน และดูการจำลองสนามเวกเตอร์แบบโต้ตอบพร้อมการแสดงเลเยอร์ความหมุน (vorticity)

เครื่องคำนวณเคิร์ล

ตัวอย่าง:

P = F₁(x,y,z)

Q = F₂(x,y,z)

R = F₃(x,y,z)

จุดที่ต้องการหาค่า (ไม่บังคับ)

ระบุพิกัดโดยใช้จุลภาคคั่นให้ตรงกับมิติที่เลือก

ตัวอย่างเคิร์ล

ป้อนส่วนประกอบเพื่อดูการพรีวิวผลคูณไขว้

Embed เครื่องคำนวณเคิร์ล Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเคิร์ล

เครื่องคำนวณเคิร์ล นี้จะคำนวณเคิร์ล ∇×F ของสนามเวกเตอร์ 2D หรือ 3D ใดๆ พร้อมแสดงการขยายค่าดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณไขว้แบบละเอียดทีละขั้นตอน เพียงป้อนส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ P, Q (และ R สำหรับสนาม 3D) และเลือกหาค่า ณ จุดที่ต้องการเพื่อรับผลลัพธ์ในรูปแบบสัญลักษณ์ การจำแนกประเภทการหมุน และสำหรับสนาม 2D ยังมีภาพจำลองแบบโต้ตอบพร้อมแผนที่ความร้อนของ Vorticity และการไหลของอนุภาคที่แสดงลักษณะการหมุนของสนาม

เคิร์ล (Curl) คืออะไร?

เคิร์ล ของสนามเวกเตอร์ $\mathbf{F}$ คือการวัดการหมุนในระดับจุลภาคของสนาม ณ แต่ละจุด สำหรับสนาม 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ เคิร์ลจะคำนวณได้จากผลคูณไขว้ (Cross Product):

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

การขยายดีเทอร์มิแนนต์จะได้เวกเตอร์เคิร์ลดังนี้:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

สำหรับสนาม 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ เคิร์ลจะลดรูปเหลือเพียงค่าสเกลาร์ $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ซึ่งแสดงถึงการหมุนในระนาบ xy

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ล

↺

หมุนทวนเข็ม (curl > 0)

หากวางกังหันขนาดเล็กไว้ที่นี่ มันจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา สนามไหลเวียนในทิศทางที่เป็นบวก

↻

หมุนตามเข็ม (curl < 0)

หากวางกังหันขนาดเล็กไว้ที่นี่ มันจะหมุนตามเข็มนาฬิกา สนามไหลเวียนในทิศทางที่เป็นลบ

⊘

ไร้การหมุน (curl = 0)

ไม่มีการหมุนสุทธิ — สนามเป็นแบบอนุรักษ์ มีฟังก์ชันศักย์ φ ที่ทำให้ F = ∇φ

♻

ทฤษฎีบทของสโตคส์

ปริพันธ์ตามพื้นผิวของเคิร์ลเท่ากับปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบเขต: การไหลเวียน = การหมุนทั้งหมด

สูตรเคิร์ลในระบบพิกัดต่างๆ

ระบบพิกัด	สูตรเคิร์ล
คาร์ทีเซียน 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (สเกลาร์)
คาร์ทีเซียน 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
ทรงกระบอก	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
ทรงกลม	ดูการขยายตัวเต็มรูปแบบโดยใช้ตัวคูณสเกล $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

เอกลักษณ์ที่สำคัญเกี่ยวกับเคิร์ล

เอกลักษณ์	สูตร
เคิร์ลของเกรเดียนต์	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (เป็นศูนย์เสมอ — เกรเดียนต์ไม่มีการหมุน)
ไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (เป็นศูนย์เสมอ)
ความเป็นเชิงเส้น	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
กฎผลคูณ	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
ทฤษฎีบทของสโตคส์	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

การประยุกต์ใช้งานของเคิร์ล

สาขา	การประยุกต์ใช้	สิ่งที่เคิร์ลแสดงแทน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของฟาราเดย์	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าแบบไหลเวียน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของแอมแปร์	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กแบบไหลเวียน
พลศาสตร์ของไหล	Vorticity (ความหมุนวน)	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — วัดว่าของไหลหมุนอย่างไรในระดับท้องถิ่น
กลศาสตร์	ความเร็วเชิงมุม	สำหรับการหมุนของวัตถุเกร็ง $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ เคิร์ลจะให้ค่า $2\boldsymbol{\omega}$
สนามอนุรักษ์	ความเป็นอิสระจากเส้นทาง	ถ้า $\nabla \times \mathbf{F} = 0$ ปริพันธ์ตามเส้นจะเป็นอิสระจากเส้นทางและมีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณเคิร์ล

เลือกมิติ: เลือก 2D สำหรับสนาม F = ⟨P, Q⟩ (สเกลาร์เคิร์ล) หรือ 3D สำหรับสนาม F = ⟨P, Q, R⟩ (เวกเตอร์เคิร์ล) โดยใช้ปุ่มสลับ
ป้อนฟังก์ชันส่วนประกอบ: พิมพ์ฟังก์ชันแต่ละส่วนประกอบ (P, Q และ R หากเป็น 3D) โดยใช้รูปแบบมาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง, * สำหรับการคูณ และฟังก์ชัน เช่น sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x) รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย (เช่น 2x = 2*x)
ป้อนจุดที่หาค่า (ไม่บังคับ): ระบุพิกัดโดยคั่นด้วยจุลภาคเพื่อคำนวณหาค่าเคิร์ลเชิงตัวเลขและจำแนกทิศทางการหมุน
คลิก คำนวณเคิร์ล: ดูผลลัพธ์ในรูปแบบสัญลักษณ์ การขยายดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน การหาค่าเชิงตัวเลข และการจำแนกประเภทการหมุน
สำรวจภาพจำลอง: สำหรับสนาม 2D คุณสามารถดูลูกศรสนามเวกเตอร์พร้อมแผนที่ความร้อนของ Vorticity (สีส้ม = ทวนเข็มนาฬิกา, สีม่วง = ตามเข็มนาฬิกา) และการไหลของอนุภาคแบบเคลื่อนไหว

ตัวอย่างวิธีทำ

จงหาเคิร์ลของ $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ ณ จุด $(1, 2, 3)$:

ขั้นตอนที่ 1: เขียนดีเทอร์มิแนนต์: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

ขั้นตอนที่ 2: ขยายผล: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

ขั้นตอนที่ 3: เคิร์ลเป็นศูนย์ในทุกจุด — สนามนี้คือ สนามไร้การหมุน (สนามอนุรักษ์) ในความเป็นจริง $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$ ซึ่งยืนยันว่ามีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง

Curl เทียบกับ Divergence

คุณสมบัติ	Curl (∇×F)	Divergence (∇·F)
ประเภทตัวดำเนินการ	ผลคูณไขว้กับ ∇	ผลคูณจุดกับ ∇
ผลลัพธ์	เวกเตอร์ (3D) / สเกลาร์ (2D)	สเกลาร์
สิ่งที่วัด	การหมุน / การไหลเวียน	การขยายตัว / การหดตัว
เมื่อเป็นศูนย์หมายถึง	ไร้การหมุน / สนามอนุรักษ์	Solenoidal / ของไหลที่บีบอัดไม่ได้
ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง	ทฤษฎีบทของสโตคส์	ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (เกาส์)

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เคิร์ล (Curl) ของสนามเวกเตอร์คืออะไร?

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์คือค่าที่วัดแนวโน้มการหมุนหรือการไหลเวียน ณ แต่ละจุด สำหรับสนาม 3D F = (P, Q, R) เคิร์ลคือเวกเตอร์ที่คำนวณผ่านผลคูณไขว้ของตัวดำเนินการ Nabla กับ F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y) ค่าเคิร์ลที่เป็นบวกบ่งบอกถึงการหมุนทวนเข็มนาฬิกา และค่าลบบ่งบอกถึงการหมุนตามเข็มนาฬิกา

คุณคำนวณเคิร์ลได้อย่างไร?

ในการคำนวณเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ 3D ให้ตั้งค่าดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 3×3 โดยมีเวกเตอร์หน่วย i, j, k ในแถวแรก ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ในแถวที่สอง และส่วนประกอบของสนาม P, Q, R ในแถวที่สาม จากนั้นขยายดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้การขยายโคแฟกเตอร์ตามแถวแรกเพื่อหาแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์เคิร์ล

หมายความว่าอย่างไรเมื่อเคิร์ลเป็นศูนย์?

เมื่อเคิร์ลเป็นศูนย์ในทุกจุด สนามเวกเตอร์นั้นจะเรียกว่า ไร้การหมุน (Irrotational) หรือ สนามอนุรักษ์ (Conservative) ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันศักย์สเกลาร์ φ ที่ทำให้ F = ∇φ และปริพันธ์ตามเส้นของ F รอบวงปิดใดๆ จะเป็นศูนย์ สนามโน้มถ่วงและสนามไฟฟ้าสถิตเป็นตัวอย่างของสนามที่ไร้การหมุน

ความแตกต่างระหว่าง Curl และ Divergence คืออะไร?

Curl วัดการหมุนและให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (ใน 3D) ในขณะที่ Divergence วัดการขยายตัวหรือการหดตัวและให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ Curl ใช้ผลคูณไขว้ของ Nabla กับ F (∇×F) ส่วน Divergence ใช้ผลคูณจุด (∇·F) สนามหนึ่งอาจมีเคิร์ลที่ไม่เป็นศูนย์แต่มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ (เช่น F = (−y, x, 0)) หรือมีเคิร์ลเป็นศูนย์แต่มีไดเวอร์เจนซ์ที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่น F = (x, y, z))

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ลคืออะไร?

ในทางกายภาพ เคิร์ลจะวัดแนวโน้มของสนามเวกเตอร์ที่จะไหลเวียนหรือหมุนรอบจุดหนึ่งๆ จินตนาการว่าวางกังหันขนาดเล็กในกระแสของไหล เคิร์ลจะบอกคุณว่ากังหันนั้นจะหมุนเร็วแค่ไหนและไปในทิศทางใด ในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า เคิร์ลปรากฏในกฎของฟาราเดย์ (สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าไหลเวียน) และกฎของแอมแปร์ (กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กไหลเวียน) ในพลศาสตร์ของไหล เคิร์ลของความเร็วเรียกว่า Vorticity

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณเคิร์ล" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณเคิร์ล/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-08

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณความยาวส่วนโค้ง

เครื่องคิดเลขอนุพันธ์

เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์ใหม่

เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่

เครื่องคำนวณเกรเดียนต์ หลายตัวแปรใหม่

เครื่องคิดเลขอินทิเกรต

เครื่องคำนวณเมทริกซ์จาโคเบียนใหม่

เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้นใหม่

เครื่องคิดเลขเมทริกซ์

เครื่องคำนวณเคิร์ล

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเคิร์ล

เคิร์ล (Curl) คืออะไร?

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ล

สูตรเคิร์ลในระบบพิกัดต่างๆ

เอกลักษณ์ที่สำคัญเกี่ยวกับเคิร์ล

การประยุกต์ใช้งานของเคิร์ล

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณเคิร์ล

ตัวอย่างวิธีทำ

Curl เทียบกับ Divergence

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

แคลคูลัส:

เครื่องมือเด่น:

ระบบพิกัด	สูตรเคิร์ล
คาร์ทีเซียน 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (สเกลาร์)
คาร์ทีเซียน 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
ทรงกระบอก	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
ทรงกลม	ดูการขยายตัวเต็มรูปแบบโดยใช้ตัวคูณสเกล \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

เอกลักษณ์	สูตร
เคิร์ลของเกรเดียนต์	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (เป็นศูนย์เสมอ — เกรเดียนต์ไม่มีการหมุน)
ไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (เป็นศูนย์เสมอ)
ความเป็นเชิงเส้น	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
กฎผลคูณ	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
ทฤษฎีบทของสโตคส์	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

สาขา	การประยุกต์ใช้	สิ่งที่เคิร์ลแสดงแทน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของฟาราเดย์	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าแบบไหลเวียน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของแอมแปร์	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กแบบไหลเวียน
พลศาสตร์ของไหล	Vorticity (ความหมุนวน)	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — วัดว่าของไหลหมุนอย่างไรในระดับท้องถิ่น
กลศาสตร์	ความเร็วเชิงมุม	สำหรับการหมุนของวัตถุเกร็ง \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\) เคิร์ลจะให้ค่า \(2\boldsymbol{\omega}\)
สนามอนุรักษ์	ความเป็นอิสระจากเส้นทาง	ถ้า \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) ปริพันธ์ตามเส้นจะเป็นอิสระจากเส้นทางและมีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง