トーラス電卓

トーラス電卓

トーラス電卓は、3次元のドーナツ型の回転面であるトーラスの体積、表面積、および幾何学的特性を計算します。トーラスは、半径 r（小半径、またはチューブ半径）の円を、その中心から距離 R（大半径）にある軸の周りに回転させることによって生成されます。大半径と小半径を入力すると、ステップバイステップの公式とインタラクティブな断面図とともに即座に結果が表示されます。

3種類のトーラス

トーラスの主な公式

大半径 R（トーラスの中心からチューブの中心まで）と小半径 r（チューブの半径）を持つトーラスの場合：

実世界での応用

トーラス幾何学の理解

トーラスは数学的に回転面として定義されます。半径 r の円を、その円と同じ平面上にあり、かつ交差しない軸（輪状トーラスの場合）の周りに回転させます。軸から回転する円の中心までの距離が大半径 R です。原点を中心とし、z軸を対称軸とするトーラスの媒介変数表示は以下の通りです：

\(x = (R + r\cos\theta)\cos\phi\), \(y = (R + r\cos\theta)\sin\phi\), \(z = r\sin\theta\)

ここで \(\theta\) と \(\phi\) は 0 から \(2\pi\) の範囲をとります。体積公式 \(V = 2\pi^2 R r^2\) はパップス・ギュルダンの定理を用いて導出できます。回転体の体積は、断面積（\(\pi r^2\)）に図形の重心が移動した距離（\(2\pi R\)）を掛けたものに等しくなります。

トーラス電卓の使い方

1. 大半径 (R) を入力する: トーラスの中心からチューブの中心までの距離を入力するか、ドーナツ、タイヤ、指輪などのクイック例をクリックします。
2. 小半径 (r) を入力する: チューブ断面の半径を入力します。
3. トーラスを計算をクリック: ボタンを押すと、すべてのプロパティが即座に計算されます。
4. 結果を確認する: 結果カードで体積、表面積、内・外半径、その他のプロパティを確認します。図形の切り替えボタンを使用して、寸法、半径ラベル、回転軸を表示または非表示にできます。

トーラス vs. 球体 vs. 円柱

球体は、すべての点が中心から等距離にある面であり、穴はありません。円柱は、直線の面で接続された2つの平らな円形の端を持っています。トーラスは平らな面を持たず、中心に穴があるのが特徴です（輪状トーラスの場合）。位相幾何学（トポロジー）的には、トーラスは種数 1（穴が1つ）ですが、球体は種数 0 です。この根本的な違いにより、トーラスのオイラー標数は 0（球体は 2）であり、その全ガウス曲率はガウス・ボネの定理により 0 になります。

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