Calculateur RREF (Forme Échelonnée Réduite)

Calculateur RREF (Forme Échelonnée Réduite)

Le Calculateur RREF (Calculateur de Forme Échelonnée Réduite par Lignes) effectue l'élimination de Gauss-Jordan sur n'importe quelle matrice, en affichant chaque opération sur les lignes en cours de route. Que vous résolviez un système d'équations linéaires, recherchiez le rang d'une matrice ou identifiiez les colonnes pivots et libres, cet outil vous offre la solution complète étape par étape avec une arithmétique fractionnaire exacte — sans erreurs d'arrondi.

Qu'est-ce que la Forme Échelonnée Réduite par Lignes (RREF) ?

Une matrice est sous Forme Échelonnée Réduite par Lignes lorsqu'elle satisfait à toutes les conditions suivantes :

Comment utiliser le Calculateur RREF

Étape 1. Définissez le nombre de lignes et de colonnes à l'aide des commandes +/−.

Étape 2. Saisissez les valeurs de votre matrice dans les cellules de la grille. Vous pouvez entrer des nombres entiers, des décimales ou des fractions comme 1/3. Utilisez les touches Tab, Entrée ou les flèches pour naviguer entre les cellules.

Étape 3. Si vous résolvez un système d'équations, cochez Augmentée [A|b] pour marquer la dernière colonne comme le vecteur des constantes.

Étape 4. Cliquez sur Calculer RREF.

Étape 5. Examinez les résultats : la matrice RREF, le rang, la nullité, les colonnes pivots et les variables libres. Utilisez le navigateur d'étapes ou le bouton Lecture pour voir le déroulement de chaque opération sur les lignes.

Forme Échelonnée vs Forme Échelonnée Réduite

Comprendre les résultats

Le Rang est le nombre de positions pivots, représentant la dimension de l'espace des colonnes (ou des lignes). La Nullité est le nombre de colonnes sans pivot, représentant la dimension du noyau. Le théorème du rang garantit : Rang + Nullité = nombre de colonnes.

Pour les matrices augmentées \([A|b]\), le type de solution dépend de la RREF :

Opérations Élémentaires sur les Lignes

Les trois opérations utilisées pour calculer la RREF préservent l'ensemble des solutions d'un système linéaire :

Foire Aux Questions

Qu'est-ce que la Forme Échelonnée Réduite par Lignes (RREF) ?

La RREF est la forme canonique d'une matrice obtenue par l'élimination de Gauss-Jordan. Dans la RREF, chaque premier élément non nul (pivot) est 1, chaque pivot est le seul élément non nul de sa colonne, et les positions des pivots se déplacent strictement vers la droite et vers le bas. Chaque matrice possède une RREF unique.

Quelle est la différence entre REF et RREF ?

La forme échelonnée par lignes (REF) nécessite seulement des zéros sous chaque pivot, tandis que la forme échelonnée réduite par lignes (RREF) nécessite en plus des zéros au-dessus de chaque pivot et que tous les pivots soient égaux à 1. La RREF est unique pour toute matrice donnée, mais pas la REF.

Comment trouver le rang d'une matrice à l'aide de la RREF ?

Le rang d'une matrice est égal au nombre de pivots (les 1 principaux) dans sa RREF. Les colonnes pivots sont les colonnes contenant ces 1 principaux. La nullité est égale au nombre de colonnes moins le rang, ce qui correspond également au nombre de variables libres.

Comment résoudre un système d'équations à l'aide de la RREF ?

Écrivez la matrice augmentée [A|b] pour le système Ax = b, puis réduisez-la en RREF. Si une ligne a la forme [0 0 ... 0 | c] avec c non nul, le système est inconsistant (aucune solution). Sinon, les colonnes pivots donnent les variables déterminées et les colonnes non-pivots correspondent aux variables libres qui peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Quelles opérations sur les lignes sont utilisées pour trouver la RREF ?

Trois opérations élémentaires sur les lignes sont utilisées : (1) l'échange de deux lignes, (2) la multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, et (3) l'ajout d'un multiple d'une ligne à une autre. Ces opérations ne modifient pas l'espace des lignes ou l'ensemble des solutions d'un système linéaire.