Calculateur de la Règle de Simpson

Calculateur de la Règle de Simpson

Le Calculateur de la Règle de Simpson est un puissant outil d'intégration numérique qui approxime les intégrales définies en ajustant des courbes paraboliques (règle 1/3) ou des courbes cubiques (règle 3/8) à travers des points d'échantillonnage. Contrairement à la règle des trapèzes qui utilise des lignes droites entre les points, la règle de Simpson capture la courbure de la fonction, offrant une précision de l'ordre O(h⁴) — ce qui en fait l'une des méthodes les plus utilisées en calcul, en ingénierie et en calcul scientifique.

Caractéristiques principales

Comment utiliser le Calculateur de la Règle de Simpson

1. Entrez votre fonction — Tapez une expression mathématique f(x) telle que x^2, sin(x), exp(-x^2), ou toute combinaison de fonctions supportées.
2. Définissez les bornes d'intégration — Entrez la borne inférieure (a) et la borne supérieure (b), et choisissez le nombre de sous-intervalles (n).
3. Choisissez une règle — Sélectionnez la règle de Simpson 1/3 (nécessite n pair, ajusté automatiquement s'il est impair) ou la règle 3/8 (nécessite n divisible par 3, ajusté automatiquement).
4. Cliquez sur Calculer — L'outil calcule l'approximation avec une solution complète étape par étape rendue en MathJax.
5. Explorez les résultats — Interagissez avec la visualisation parabolique, examinez les aires par segment, comparez les méthodes et étudiez l'analyse de convergence.

Explication de la Règle de Simpson 1/3

La règle de Simpson 1/3 composée divise [a, b] en n sous-intervalles égaux (n doit être pair) et ajuste une parabole à travers chaque groupe de trois points consécutifs :

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

où \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). Les coefficients suivent le motif 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Chaque paire de sous-intervalles utilise un polynôme quadratique qui passe par trois points, capturant la courbure de la fonction bien mieux qu'une interpolation linéaire.

Explication de la Règle de Simpson 3/8

La règle 3/8 utilise une interpolation cubique sur des groupes de trois sous-intervalles (n doit être divisible par 3) :

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Les coefficients suivent le motif 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Bien que les deux règles atteignent une précision d'ordre O(h⁴), la règle 3/8 est utile lorsque n n'est pas pair.

Comparaison des erreurs

Doubler n réduit l'erreur de la règle de Simpson par environ 16×, contre seulement 4× pour la règle des trapèzes. Cela permet à la règle de Simpson de converger beaucoup plus rapidement pour les fonctions lisses.

Quand utiliser chaque règle

• Règle de Simpson 1/3 — Idéale pour la plupart des applications. À utiliser lorsque n est pair (ou peut être rendu pair). C'est la plus précise par évaluation de fonction parmi les trois formules de base de Newton-Cotes.
• Règle de Simpson 3/8 — À utiliser lorsque n est un multiple de 3 mais pas pair. Utile également dans les formules composées pour gérer les nombres impairs de sous-intervalles en combinaison avec la règle 1/3.
• Règle des trapèzes — À préférer lorsque les données sont espacées de manière inégale, que n est impair et petit, ou que la simplicité importe plus que la précision. Également préférable pour les fonctions présentant des discontinuités dans les dérivées supérieures.

Fonctions supportées

Ce calculateur supporte une large gamme de fonctions mathématiques :

• Polynômes : x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
• Trigonométrie : sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
• Exponentielle/Logarithmique : exp(x), ln(x), log(x)
• Racines : sqrt(x)
• Constantes : pi, e
• Combinaisons : sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Foire aux questions