Poisson-Verteilungsrechner

Berechnen Sie Poisson-Wahrscheinlichkeiten P(X=k), kumulierte Wahrscheinlichkeiten und visualisieren Sie PMF/CDF-Verteilungen mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen.

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Poisson-Verteilungsrechner

Willkommen beim Poisson-Verteilungsrechner, einem umfassenden Tool zur Berechnung von Poisson-Wahrscheinlichkeiten mit interaktiven Visualisierungen und Schritt-für-Schritt-Lösungen. Egal, ob Sie Student sind und Wahrscheinlichkeitstheorie lernen, Forscher, der Ereignisdaten analysiert, oder ein Profi, der mit statistischen Modellen arbeitet – dieser Rechner liefert genaue Ergebnisse mit detaillierten Erklärungen.

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse modelliert, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten. Benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson, ist sie eine der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Die Poisson-Verteilung ist durch einen einzigen Parameter Lambda (λ) gekennzeichnet, der die durchschnittliche Ereignisrate pro Intervall darstellt. Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören:

Ereignisse treten unabhängig auf: Das Auftreten eines Ereignisses beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses.
Konstante durchschnittliche Rate: Ereignisse treten mit einer bekannten konstanten mittleren Rate λ auf.
Keine gleichzeitigen Ereignisse: Zwei Ereignisse können nicht genau zum selben Zeitpunkt auftreten.
Mittelwert gleich Varianz: Bei einer Poisson-Verteilung sind sowohl der Mittelwert als auch die Varianz gleich λ.

Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF)

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

Lambda (λ) und k verstehen

Was ist Lambda (λ)?

Lambda (λ) ist der Parameter für die durchschnittliche Rate der Poisson-Verteilung. Er stellt die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Intervall dar. Beispiele:

Ein Callcenter erhält durchschnittlich 10 Anrufe pro Stunde → λ = 10
Eine Website hat durchschnittlich 50 Besucher pro Minute → λ = 50
Eine Maschine produziert durchschnittlich 2 Defekte pro Tag → λ = 2

Was ist k?

Die Variable k stellt die spezifische Anzahl von Ereignissen dar, für die Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten. Sie muss eine nicht-negative ganze Zahl sein (0, 1, 2, 3, ...). Wenn Sie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Anrufe in einer Stunde wissen möchten, dann ist k = 3.

So berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung

Parameter identifizieren: Bestimmen Sie die durchschnittliche Rate der Ereignisse (λ) und die Anzahl der Ereignisse (k), für die Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten.
Werte eingeben: Geben Sie Ihren Lambda-Wert (λ) für die durchschnittliche Rate und Ihren k-Wert für die Anzahl der Ereignisse in den Rechner ein.
Wahrscheinlichkeiten berechnen: Klicken Sie auf Berechnen, um P(X = k), P(X ≤ k), P(X > k) und andere Wahrscheinlichkeitsmaße zusammen mit Visualisierungen zu erhalten.
Schritt-für-Schritt-Lösung prüfen: Untersuchen Sie die detaillierten mathematischen Schritte, die zeigen, wie jede Wahrscheinlichkeit mit der Poisson-Formel berechnet wurde.
Diagramme analysieren: Verwenden Sie das PMF-Balkendiagramm und das CDF-Stufendiagramm, um die Verteilung zu visualisieren und die Wahrscheinlichkeitsspanne zu verstehen.

Beispiel: Kundenankünfte

Ein Café empfängt durchschnittlich 5 Kunden pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde genau 3 Kunden kommen?

Lösung: Mit λ = 5 und k = 3:

$$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} \approx 0,1404$$

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von etwa 14,04 %, dass genau 3 Kunden eintreffen.

Wahrscheinlichkeitstypen erklärt

Wahrscheinlichkeit	Notation	Bedeutung
Exakte Wahrscheinlichkeit	P(X = k)	Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse
Kumuliert (höchstens)	P(X ≤ k)	Wahrscheinlichkeit für k oder weniger Ereignisse
Kumuliert (weniger als)	P(X < k)	Wahrscheinlichkeit für weniger als k Ereignisse
Tail (mehr als)	P(X > k)	Wahrscheinlichkeit für mehr als k Ereignisse
Tail (mindestens)	P(X ≥ k)	Wahrscheinlichkeit für k oder mehr Ereignisse

Was ist der Unterschied zwischen PMF und CDF?

Die PMF (Probability Mass Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau k Ereignisse auftreten: P(X = k). Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit für jeden spezifischen Wert von k.

Die CDF (Cumulative Distribution Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k Ereignisse auftreten: P(X ≤ k). Sie ist die Summe aller PMF-Werte von 0 bis k:

Verteilungsfunktion (CDF)

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^i}{i!}$$

Anwendungen der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung findet in vielen Bereichen breite Anwendung:

Wirtschaft: Modellierung von Kundenankünften, Verkaufstransaktionen, Anrufvolumen in Callcentern
Gesundheitswesen: Analyse von Krankheitsausbrüchen, Patientenankünften, seltenen unerwünschten Ereignissen
Technologie: Analyse von Netzwerkverkehr, Serveranfragen, Systemausfällen
Versicherungen: Modellierung von Schadenhäufigkeiten, Unfallraten
Biologie: Zählen von Bakterienkolonien, Genmutationen, radioaktiver Zerfall
Qualitätskontrolle: Anzahl der Fehler in Herstellungsprozessen

Wann die Poisson-Verteilung verwendet werden sollte

Verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn:

Ereignisse unabhängig voneinander auftreten.
Ereignisse mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten.
Zwei Ereignisse nicht genau zum gleichen Zeitpunkt auftreten können.
Sie diskrete Ereignisse in einem festen Intervall zählen.
Die Ereignisse relativ selten sind (die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem kleinen Intervall ist gering).

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse modelliert, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten, wenn die Ereignisse mit einer bekannten konstanten durchschnittlichen Rate (λ) und unabhängig voneinander auftreten. Sie wird häufig verwendet, um seltene Ereignisse wie Kundenankünfte, Systemausfälle oder radioaktiven Zerfall zu modellieren.

Was ist Lambda (λ) in der Poisson-Verteilung?

Lambda (λ) ist der Parameter für die durchschnittliche Rate der Poisson-Verteilung. Er stellt die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Intervall dar. Wenn beispielsweise ein Callcenter durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde erhält, dann ist λ = 5. Lambda muss positiv sein und kann jede reelle Zahl größer als Null sein.

Wie berechne ich P(X = k) für eine Poisson-Verteilung?

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse wird mit der Poisson-PMF-Formel berechnet: P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!. Beispiel mit λ = 5 und k = 3: P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! = (0,00674 × 125) / 6 ≈ 0,1404 oder etwa 14,04 %.

Was ist der Unterschied zwischen PMF und CDF in der Poisson-Verteilung?

Die PMF (Probability Mass Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau k Ereignisse auftreten: P(X = k). Die CDF (Cumulative Distribution Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k Ereignisse auftreten: P(X ≤ k), was die Summe aller PMF-Werte von 0 bis k ist. Die CDF ist nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisbereiche.

Wann sollte ich die Poisson-Verteilung verwenden?

Verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn: (1) Ereignisse unabhängig auftreten, (2) Ereignisse mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten, (3) zwei Ereignisse nicht genau zum gleichen Zeitpunkt auftreten können und (4) Sie die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall zählen. Typische Anwendungen sind die Modellierung von Website-Traffic, Versicherungsansprüchen, Geräteausfällen und biologischen Prozessen.

Referenzen

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Poisson-Verteilungsrechner" unter https://MiniWebtool.com/de/poisson-verteilungsrechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 13. Jan. 2026

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