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Verificador de Números Amigáveis

Verifique se dois números inteiros positivos formam um par amigável, ou informe um número e deixe a ferramenta encontrar seu par. Inclui animações de divisores, detalhamento passo a passo da função sigma e prévias da cadeia alíquota.

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Tente um par famoso — ou um único número para autodescobrir seu parceiro:

✦ Par Clássico 220, 284 1184, 1210 2620, 2924 17296, 18416
→ Busca Automática 220 5020 12285
✕ Não Amigável 6, 28 100, 200
↔

↔ Deixe o segundo campo vazio para calcular automaticamente o parceiro candidato e verificar o ciclo.

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Verificador de Números Amigáveis

Bem-vindo ao Verificador de Números Amigáveis, uma ferramenta interativa que verifica se dois números inteiros positivos formam um par amigável — uma das relações mais elegantes da teoria dos números. Você pode inserir um par para verificar ou fornecer um único número e deixar que a ferramenta descubra seu parceiro candidato automaticamente. A página de resultados inclui uma prova de cinco etapas, um diagrama de aperto de mão mostrando as duas condições de soma cruzada, um detalhamento de divisores lado a lado e uma visualização da cadeia de alíquotas.

O Que São Números Amigáveis?

Dois inteiros positivos distintos \(a\) e \(b\) formam um par amigável se a soma dos divisores próprios de cada um for igual ao outro. Em outras palavras, a soma de alíquotas — a soma de todos os divisores positivos de um número, excluindo ele mesmo — aponta de \(a\) para \(b\) e de \(b\) de volta para \(a\).

Definição de um Par Amigável
$$s(a) = b \quad \text{e} \quad s(b) = a, \quad a \neq b$$

onde \(s(n)\) é a soma dos divisores próprios de \(n\)

O menor par amigável é (220, 284):

Cada número "gera" o outro através de seus próprios divisores — daí o nome amigável (do latim amicabilis).

Uma Breve História dos Números Amigáveis

Os números amigáveis fascinam os matemáticos há mais de 2.500 anos:

Como Usar Esta Calculadora

  1. Insira os números: Digite um ou dois inteiros positivos. Deixe o segundo campo em branco para permitir que a ferramenta encontre automaticamente um parceiro candidato.
  2. Verifique: Clique em "Verificar Par Amigável" para executar a verificação.
  3. Leia o veredito: O banner colorido no topo mostra se o par é amigável (verde) ou não (vermelho).
  4. Explore: Revise o diagrama de aperto de mão, o detalhamento dos divisores lado a lado, a prova passo a passo, os gráficos de barras de divisores e a prévia da cadeia de alíquotas.

Regra de Thabit ibn Qurra

Por volta de 850 d.C., o polímata árabe Thabit ibn Qurra encontrou uma fórmula parcial para gerar pares amigáveis. Seja:

Regra de Thabit
$$p = 3 \cdot 2^{n-1} - 1, \quad q = 3 \cdot 2^{n} - 1, \quad r = 9 \cdot 2^{2n-1} - 1$$

Se \(p, q, r\) forem todos primos, então \(\left(2^n \cdot p \cdot q, \; 2^n \cdot r\right)\) é um par amigável.

Definir \(n = 2\) resulta em \(p=5, q=11, r=71\) — todos primos — produzindo o par clássico (220, 284). A regra produz resultados válidos apenas para alguns valores de \(n\) e, portanto, não é exaustiva, mas deu aos matemáticos uma base para encontrar novos pares séculos antes dos computadores.

Sequências de Alíquotas e Números Sociáveis

A sequência de alíquotas de um número \(n\) é a sequência \(n, s(n), s(s(n)), \ldots\) obtida pela aplicação repetida da soma dos divisores próprios. O comportamento de uma sequência revela uma estrutura profunda:

Dez Primeiros Pares Amigáveis

#MenorMaiorDescoberto por
1220284Pitágoras (c. 500 a.C.)
21.1841.210Paganini (1866)
32.6202.924Euler (1747)
45.0205.564Euler
56.2326.368Euler
610.74410.856Euler
712.28514.595Brown (1939) — menor par ímpar
817.29618.416Ibn al-Banna / Fermat
963.02076.084Euler
1066.92866.992Euler

Curiosidades Sobre Números Amigáveis

Perguntas Frequentes

O que são números amigáveis?

Números amigáveis são dois inteiros positivos distintos (a, b) tais que a soma dos divisores próprios de a é igual a b, e a soma dos divisores próprios de b é igual a a. O menor par amigável é (220, 284), atribuído a Pitágoras.

Como verifico se dois números são amigáveis?

Calcule os divisores próprios (todos os divisores menores que o próprio número) de ambos os números e some-os. Se \(s(a) = b\) e \(s(b) = a\), e \(a \neq b\), então \((a, b)\) é um par amigável. Nossa ferramenta faz isso automaticamente e mostra cada etapa.

Posso inserir apenas um número para encontrar seu parceiro amigável?

Sim. Deixe o segundo campo em branco e a ferramenta calculará \(s(a)\) como o parceiro candidato, verificando então se \(s(s(a)) = a\). Se for, os dois números formam um par amigável.

Qual é a diferença entre números amigáveis e números perfeitos?

Um número perfeito é um único número que é igual à soma de seus próprios divisores próprios (ex: 6 = 1+2+3). Um par amigável consiste em dois números distintos onde cada um é igual à soma dos divisores próprios do outro. Números perfeitos podem ser vistos como o caso degenerado onde \(a = b\), mas por convenção não são chamados de amigáveis.

Quantos pares amigáveis são conhecidos?

Até a década de 2020, mais de 1,2 bilhão de pares amigáveis foram computados por projetos colaborativos. Os primeiros são (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) e (6232, 6368). O menor par amigável ímpar conhecido é (12285, 14595).

Quem descobriu o par (1184, 1210)?

Foi encontrado em 1866 por Niccolò Paganini, um estudante italiano de 16 anos. Este par foi ignorado por séculos de matemáticos, incluindo Fermat, Descartes e Euler, apesar de ser o segundo menor par amigável.

Recursos Adicionais

Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:

"Verificador de Números Amigáveis" em https://MiniWebtool.com/br/verificador-de-numeros-amigaveis/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

pela equipe MiniWebtool. Atualizado em: 18 de abr de 2026

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