Calculadora RREF (Forma Escalonada Reduzida)

Calculadora RREF (Forma Escalonada Reduzida)

A Calculadora RREF (Calculadora de Forma Escalonada Reduzida por Linhas) realiza a eliminação de Gauss-Jordan em qualquer matriz, mostrando cada operação de linha ao longo do caminho. Quer você esteja resolvendo um sistema de equações lineares, encontrando o posto de uma matriz ou identificando colunas pivô e livres, esta ferramenta oferece a solução passo a passo completa com aritmética de frações exata — sem erros de arredondamento.

O que é a Forma Escalonada Reduzida por Linhas (RREF)?

Uma matriz está na Forma Escalonada Reduzida por Linhas quando satisfaz todas as seguintes condições:

Como usar a Calculadora RREF

Passo 1. Defina o número de linhas e colunas usando os controles +/−.

Passo 2. Insira os valores da sua matriz nas células da grade. Você pode inserir inteiros, decimais ou frações como 1/3. Use Tab, Enter ou as setas do teclado para navegar entre as células.

Passo 3. Se estiver resolvendo um sistema de equações, marque Aumentada [A|b] para identificar a última coluna como o vetor de constantes.

Passo 4. Clique em Calcular RREF.

Passo 5. Revise os resultados: a matriz RREF, posto, nulidade, colunas pivô e variáveis livres. Use o navegador de etapas ou o botão Reproduzir para assistir a cada operação de linha se desenrolar.

Forma Escalonada vs. Forma Escalonada Reduzida

Entendendo os Resultados

O Posto é o número de posições pivô, representando a dimensão do espaço das colunas (ou espaço das linhas). A Nulidade é o número de colunas não-pivô, representando a dimensão do núcleo (espaço nulo). O Teorema do Posto-Nulidade garante que: Posto + Nulidade = número de colunas.

Para matrizes aumentadas \([A|b]\), o tipo de solução depende da RREF:

Operações Elementares de Linha

As três operações usadas para computar a RREF preservam o conjunto de soluções de um sistema linear:

Perguntas Frequentes

O que é a Forma Escalonada Reduzida por Linhas (RREF)?

RREF é a forma canônica de uma matriz obtida através da eliminação de Gauss-Jordan. Na RREF, cada entrada principal (pivô) é 1, cada pivô é a única entrada não nula em sua coluna, e as posições dos pivôs movem-se estritamente para a direita e para baixo. Toda matriz possui uma RREF única.

Qual a diferença entre REF e RREF?

A Forma Escalonada por Linhas (REF) requer apenas zeros abaixo de cada pivô, enquanto a Forma Escalonada Reduzida por Linhas (RREF) adicionalmente requer zeros acima de cada pivô e que todos os pivôs sejam iguais a 1. A RREF é única para qualquer matriz, mas a REF não é.

Como encontrar o posto de uma matriz usando RREF?

O posto de uma matriz é igual ao número de pivôs (1s principais) em sua RREF. As colunas pivô são as colunas que contêm esses 1s principais. A nulidade é igual ao número de colunas menos o posto, que também é o número de variáveis livres.

Como resolver um sistema de equações usando RREF?

Escreva a matriz aumentada [A|b] para o sistema Ax = b e, em seguida, reduza-a para RREF. Se alguma linha tiver a forma [0 0 ... 0 | c] com c diferente de zero, o sistema é inconsistente (sem solução). Caso contrário, as colunas pivô fornecem as variáveis determinadas e as colunas não-pivô correspondem às variáveis livres que podem assumir qualquer valor.

Quais operações de linha são usadas para encontrar a RREF?

Três operações elementares de linha são usadas: (1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e (3) somar um múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não alteram o espaço das linhas ou o conjunto de soluções de um sistema linear.