Calculadora de Decomposição QR

Calculadora de Decomposição QR

A Calculadora de Decomposição QR fatora qualquer matriz A no produto de uma matriz ortogonal Q e uma matriz triangular superior R, de modo que A = QR. Insira uma matriz de 2×2 a 5×5 (incluindo matrizes não quadradas onde linhas ≥ colunas) e obtenha a ortogonalização completa de Gram-Schmidt com soluções passo a passo, animação interativa, verificação de ortogonalidade QᵀQ = I e insights educacionais detalhados.

O que é Decomposição QR?

A decomposição QR (também chamada de fatoração QR) escreve uma matriz A como:

$$A = QR$$

onde Q é uma matriz ortogonal (suas colunas são vetores ortonormais que satisfazem QᵀQ = I) e R é uma matriz triangular superior. Para uma matriz m×n com m ≥ n e posto de coluna completo, a QR reduzida fornece Q como m×n e R como n×n.

O Processo de Gram-Schmidt Explicado

Dados os vetores coluna a₁, a₂, …, aₙ de A, o algoritmo clássico de Gram-Schmidt produz vetores ortonormais e₁, e₂, …, eₙ:

Passo 1. Defina u₁ = a₁, depois normalize: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Passo 2. Para cada coluna subsequente aⱼ, subtraia suas projeções sobre todos os eₖ anteriores:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Depois normalize: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Passo 3. A matriz Q tem e₁, …, eₙ como colunas. R é triangular superior com entradas rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Como Usar Esta Calculadora

Passo 1. Defina as dimensões da matriz (linhas × colunas). As linhas devem ser ≥ colunas para a decomposição QR.

Passo 2. Insira os valores na grade ou clique em um exemplo rápido para carregar um modelo predefinido. Use Tab ou as teclas de seta para navegar.

Passo 3. Clique em Decompor A = QR. A calculadora executa o processo de Gram-Schmidt e exibe Q e R.

Passo 4. Assista à animação de Gram-Schmidt para ver como cada coluna é ortogonalizada: vetor original → subtrair projeções → resultado não normalizado → vetor ortonormal normalizado.

Passo 5. Verifique o resultado: confirme se QR = A e QᵀQ = I (matriz identidade). Siga a derivação completa usando o navegador de passos.

Aplicações da Decomposição QR

QR vs. Outras Decomposições de Matriz

Perguntas Frequentes

O que é decomposição QR?

A decomposição QR fatora uma matriz A no produto de uma matriz ortogonal Q (cujas colunas são ortonormais) e uma matriz triangular superior R. Toda matriz real com colunas linearmente independentes possui uma fatoração QR única quando exigimos que R tenha entradas diagonais positivas.

O que é o processo de Gram-Schmidt?

O processo de Gram-Schmidt é um algoritmo que recebe um conjunto de vetores linearmente independentes e produz um conjunto ortonormal que abrange o mesmo subespaço. Ele funciona subtraindo iterativamente as projeções sobre todos os vetores ortonormais calculados anteriormente e, em seguida, normalizando o resíduo.

A decomposição QR funciona para matrizes não quadradas?

Sim. Para uma matriz m×n onde m ≥ n, a decomposição QR reduzida (ou "thin") fornece Q como m×n com colunas ortonormais e R como n×n triangular superior. Esta é a forma mais utilizada na prática, especialmente para problemas de mínimos quadrados.

Quando devo usar QR em vez da decomposição LU?

Use QR quando a estabilidade numérica for mais importante que a velocidade — por exemplo, com matrizes mal condicionadas, problemas de mínimos quadrados ou cálculo de autovalores. A LU é mais rápida (aproximadamente 2× para sistemas quadrados), mas pode amplificar erros de arredondamento. A QR preserva as normas vetoriais porque Q é ortogonal.

Qual é a diferença entre QR e SVD?

Ambas produzem fatores ortogonais, mas a SVD decompõe A em três matrizes (UΣVᵀ) revelando valores singulares e o posto, enquanto a QR fornece duas matrizes (QR) e é mais rápida de calcular. A SVD é preferida para problemas com deficiência de posto e cálculo de pseudoinversa; a QR é preferida para resolver sistemas de posto completo e algoritmos de autovalores.