Calculadora de Ângulo Entre Vetores
Calcule o ângulo entre dois vetores 2D ou 3D usando a fórmula do produto escalar cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Obtenha soluções passo a passo, resultados em graus e radianos, diagrama de vetores interativo e interpretação geométrica.
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Calculadora de Ângulo Entre Vetores
A Calculadora de Ângulo entre Vetores encontra o ângulo entre dois vetores 2D ou 3D usando a fórmula do produto escalar \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). Insira os componentes dos seus vetores para obter instantaneamente o ângulo em graus e radianos, uma solução completa passo a passo, magnitudes dos vetores, produto escalar, vetores unitários, projeção, interpretação geométrica e um diagrama interativo com camadas alternáveis.
A Fórmula do Ângulo pelo Produto Escalar
O ângulo \(\theta\) entre dois vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) é derivado da identidade do produto escalar:
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
Onde:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\) é o produto escalar
- \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\) é a magnitude do vetor a
- \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) fornece o ângulo entre 0° e 180°
Entendendo o Sinal do Produto Escalar
Aplicações no Mundo Real
Fórmulas Chave
| Fórmula | Expressão | Descrição |
|---|---|---|
| Produto Escalar (2D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2\) | Soma dos produtos dos componentes |
| Produto Escalar (3D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\) | Estende-se a três componentes |
| Magnitude | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) | Comprimento (norma) de um vetor |
| Ângulo | \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) | Sempre entre 0° e 180° |
| Similaridade de Cosseno | \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | O mesmo que cos θ — varia de −1 a 1 |
| Projeção | \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) | Componente de a ao longo de b |
Como usar a Calculadora de Ângulo entre Vetores
- Insira o Vetor a: Digite os componentes separados por vírgulas. Use 2 componentes para 2D (ex: 3, 4) ou 3 componentes para 3D (ex: 1, 2, 3). Clique em qualquer exemplo rápido para preencher automaticamente ambos os campos.
- Insira o Vetor b: Digite os componentes do segundo vetor na mesma dimensão que o vetor a.
- Acompanhe a pré-visualização ao vivo: O diagrama é atualizado em tempo real, mostrando ambos os vetores e o ângulo computado conforme você digita.
- Clique em Calcular: Pressione o botão para obter o resultado completo, incluindo o ângulo em graus e radianos, a solução passo a passo, todas as grandezas relacionadas e o diagrama interativo.
- Explore o diagrama: Alterne as camadas (arco de ângulo, projeção, grade, rótulos) para diferentes visualizações. Para vetores 3D, arraste para girar a visualização.
Vetores 2D vs 3D
A fórmula do ângulo pelo produto escalar funciona de forma idêntica tanto em 2D quanto em 3D — apenas o número de componentes muda. Em 2D, os vetores possuem componentes (x, y) e o diagrama mostra um plano cartesiano plano com um arco de ângulo claro. Em 3D, os vetores possuem componentes (x, y, z) e o diagrama fornece uma visão isométrica rotativa interativa. O princípio matemático é o mesmo: calcular o produto escalar, dividir pelo produto das magnitudes e tirar o arco cosseno.
FAQ
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pela equipe miniwebtool. Atualizado: 2026-04-10
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