三角恒等式計算機
當已知一個三角函數值時，本工具可利用基本恒等式（畢達哥拉斯恒等式、和差公式、二倍角公式與半角公式）求出其他三角函數值，非常適合用於學習與驗證三角恒等式！
三角恒等式計算機
三角恒等式計算機
歡迎使用 三角恒等式計算機。此工具可以利用基本三角恒等式計算未知的三角函數值。當你已知某一個三角函數的數值（例如 $\sin(x)$ 或 $\cos(x)$），以及角 x 所在的象限時，計算機會求出其餘三角函數並應用多種恒等式進行推導。
本計算機可以做什麼？
在已知一個三角函數與角所在象限的前提下，本計算機可以：
- 計算六個基本三角函數： $\sin(x)$、$\cos(x)$、$\tan(x)$、$\csc(x)$、$\sec(x)$、$\cot(x)$
- 套用二倍角公式： 計算 $\sin(2x)$、$\cos(2x)$ 與 $\tan(2x)$
- 套用半角公式： 計算 $\sin(x/2)$、$\cos(x/2)$ 與 $\tan(x/2)$
- 求出精確角度： 同時以度數與弧度表示
- 驗證恒等式： 檢查畢達哥拉斯恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ 是否成立
重要的三角恒等式
畢達哥拉斯恒等式
- $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
- $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
- $$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$
二倍角公式
- $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
- $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
- $$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$
半角公式
- $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
- $$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
- $$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$
象限與三角函數的正負號
三角函數在不同象限下具有不同的正負號：
- 第一象限 (0°–90°)： 所有三角函數皆為正 (A)
- 第二象限 (90°–180°)： 只有正弦與餘割為正 (S)
- 第三象限 (180°–270°)： 只有正切與餘切為正 (T)
- 第四象限 (270°–360°)： 只有餘弦與正割為正 (C)
英文記憶口訣：「All Students Take Calculus」（A–S–T–C）。
倒數恒等式
- $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
- $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
- $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
如何使用本計算機
- 選擇已知函數： 選擇你已知數值的三角函數（sin、cos、tan、csc、sec 或 cot）。
- 輸入已知值： 輸入對應的數值。
- 選擇象限： 指定角 x 所在的象限，以決定其他函數的正負號。
- 選擇恒等式類型： 選擇要套用的恒等式（畢達哥拉斯、二倍角、半角或全部）。
- 設定精度： 選擇小數位數（1–100）。
- 按下「計算」： 查看完整結果與逐步解答。
應用範圍
- 教育： 學習與驗證三角恒等式
- 工程： 訊號處理、波形分析
- 物理： 簡諧運動與振盪問題
- 導航： 角度與距離計算
- 電腦圖學： 旋轉與變換矩陣
更多資源
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由 miniwebtool 團隊提供。更新日期：2025 年 11 月 24 日
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