考拉茲猜想計算機

歡迎使用考拉茲猜想計算機，這是一個用於探索數學中最迷人的未解難題之一的互動工具。輸入任何正整數，觀察冰雹序列如何透過一系列簡單的規則展開，直到它不可避免地進入 4 → 2 → 1 循環。互動式軌跡圖、逐步解析和全面的統計數據將幫助您視覺化並理解考拉茲序列令人驚訝的行為。

什麼是考拉茲猜想？

考拉茲猜想，又稱 3n+1 問題、敘拉古問題或冰雹問題，是數學界最著名的未解問題之一。它由德國數學家洛塔爾·考拉茲 (Lothar Collatz) 於 1937 年首次提出。

該猜想指出：從任何正整數 n 開始。如果 n 是偶數，則將其除以 2。如果 n 是奇數，則乘以 3 並加 1。重複此過程。猜想斷言，無論你選擇什麼起始數字，序列最終總會達到 1。

考拉茲規則

從任何正整數 \(n\) 開始，重複應用 \(f\) 會產生一個稱為冰雹序列（或考拉茲序列）的序列。該猜想稱此序列總是會達到 1，之後它會進入 1 → 4 → 2 → 1 的循環。

為什麼它被稱為冰雹序列？

該序列被稱為冰雹序列，是因為其數值忽上忽下，極不規律，就像冰雹在風暴雲中被吹上吹下，最後才落到地面。當一個奇數被三倍並增加時，數值會飆升；當偶數被減半時，數值會回落。最終，「冰雹」會到達地面——即數字 1。

如何使用此計算機

1. 輸入起始數字：在輸入欄位中輸入任何正整數。可以嘗試使用著名的起始值（如 27 或 871）的快速示例。
2. 生成序列：點擊「生成序列」來計算完整的冰雹序列。
3. 探索軌跡：互動式圖表顯示了每一步的值。在線性尺度和對數尺度之間切換，以便更好地視覺化極端峰值。
4. 查看統計數據：檢查停止時間、峰值、增長率以及偶數/奇數步數。
5. 研究步驟：詳細表格顯示了每一步應用的每個運算，並為偶數 (n/2) 和奇數 (3n+1) 步驟標註了顏色。

理解結果

關鍵統計指標

• 停止時間：達到 1 所需的總步數。也稱為總停止時間。
• 峰值：序列中達到的最高數字。即使對於很小的起始值，峰值也可能大得驚人。
• 增長率：峰值與起始值的比率。顯示序列在下降前「增長」了多少。
• 偶數步數：應用 n/2 的次數（數值為偶數的次數）。
• 奇數步數：應用 3n+1 的次數（數值為奇數的次數）。

序列軌跡圖表

互動式圖表透過三個標註點來視覺化冰雹序列：

• 綠色點 — 起始值
• 紅色點 — 峰值（最高點）
• 金色點 — 最終值 (1)

對於具有極大峰值的序列，請切換到對數尺度以更清楚地觀察整體形狀。

著名範例

數字 27

數字 27 也許是考拉茲猜想研究中最著名的起始值。儘管它是一個很小的數字，但它產生了一個長達 111 步的序列，並達到了 9,232 的峰值 — 是其起始值的 341 倍以上。這種戲劇性的表現使其成為該猜想不可預測性的經典案例。

最長序列的紀錄保持者

數學性質

偶數與奇數步數比

在典型的考拉茲序列中，偶數步數 (n/2) 顯著多於奇數步數 (3n+1)。這是因為每個奇數步驟都會產生一個偶數（當 n 為奇數時，3n+1 總是偶數），然後立即減半。平均而言，偶數與奇數步驟的比率大約為 2:1，這是序列總體趨於減少的一個啟發式論點。

4-2-1 循環

每個達到 1 的考拉茲序列隨後都會進入循環：1 → 4 → 2 → 1。該猜想可以等價地表述為：「不存在其他循環」，這意味著沒有起始數字會進入不包含 1 的循環，也沒有序列會發散到無窮大。

計算驗證

截至 2020 年，考拉茲猜想已針對高達約 \(2.95 \times 10^{20}\) 的所有起始值進行了計算驗證。雖然這是強有力的證據，但並不構成證明。

歷史與著名研究

• 1937年： 洛塔爾·考拉茲在漢堡大學學習期間首次提出該猜想。
• 1970年代： 該問題在數學界獲得了廣泛關注，並擁有了許多名稱（敘拉古、烏拉姆、角谷）。
• 1985年： 傑弗里·拉加里亞斯 (Jeffrey Lagarias) 發表了一份全面的調查報告，並展示了其與數論和動力系統的聯繫。
• 2019年： 陶哲軒證明了「幾乎所有」考拉茲軌道都達到幾乎有界的值，這是迄今為止該猜想最強的部分結果。

保羅·艾狄胥曾對考拉茲猜想說過一句名言：「數學可能還沒準備好解決這樣的問題。」

常見問題解答

什麼是考拉茲猜想？

考拉茲猜想（也稱為 3n+1 問題）指出，對於任何正整數，如果你重複應用「偶數則除以 2；奇數則乘以 3 再加 1」的規則，該序列最終總會達到 1。儘管規則簡單，但自洛塔爾·考拉茲於 1937 年首次提出以來，該猜想仍未得到證明。

什麼是冰雹序列？

冰雹序列（也稱為考拉茲序列）是指透過對起始數字重複應用考拉茲規則直到達到 1 所產生的一系列數字。它被稱為「冰雹」序列，是因為其數值像雲中的冰雹一樣起伏，最後才落到地面（達到 1）。

考拉茲猜想中的停止時間是什麼？

停止時間（或總停止時間）是指起始數字在考拉茲序列中達到 1 所需的步數。例如，從 27 開始，停止時間為 111 步。停止時間在不同的起始數字之間差異很大，且不遵循簡單的規律。

為什麼 27 在考拉茲猜想中是一個著名的數字？

數字 27 在考拉茲猜想研究中非常著名，因為儘管它相對較小，卻產生了驚人的 111 步長序列，並達到了 9,232 的峰值 — 超過其起始值的 341 倍。這使其成為考拉茲序列如何不可預測的經典範例。

考拉茲猜想被證明了嗎？

沒有，截至 2024 年，考拉茲猜想尚未得到證明。它已透過計算驗證了所有高達約 \(2.95 \times 10^{20}\) 的起始值，但一般的數學證明仍然難以取得。2019 年，陶哲軒證明了該猜想對測度論意義上的「幾乎所有」數字都成立。

小數字中運算步數最長的考拉茲序列是哪個？

在 1,000 以下的數字中，數字 871 的考拉茲序列最長，為 178 步。在 10,000 以下是 6,171，有 261 步。在 100,000 以下是 77,031，有 350 步。在 1,000,000 以下，紀錄保持者是 837,799，有 524 步。

其他資源

• 考拉茲猜想 - 維基百科
• 冰雹序列 - 維基百科