線性代數

用克拉瑪法則解二元或三元一次聯立方程式。輸入係數後可見行列式逐步計算、矩陣動畫、幾何意義與完整解。

以 Gram-Schmidt 法把矩陣分解成正交矩陣 Q 與上三角矩陣 R。支援 2×2 到 5×5，並以動畫核對 Q 轉置乘 Q 是否為單位矩陣。

把矩陣化簡為列最簡梯形 RREF，並逐步顯示列運算。可讀出秩、零度、主元行、自由變數與解的類型。

輸入兩個三維向量座標，計算外積、垂直向量與平行四邊形面積，並逐步展開行列式。

計算 2D、3D 或 n 維向量的大小（歐幾里得範數）。逐步顯示各分量平方、加總再開根號，並附向量示意圖。

請輸入兩個二維或三維向量，用點積立刻算出夾角的度與弧度。結果含度與弧度、逐步公式與向量示意圖。

計算一個向量在另一個向量上的向量投影與純量投影。支援 2D 與 3D，並附逐步公式、互動圖與正交分解。

計算向量的點積、外積、長度、單位向量、夾角與投影等。附逐步解題與互動立體圖。

輸入平面、空間，或最高 50 維的兩個向量，即可得到點積、夾角，以及純量投影與向量投影。

將對稱正定矩陣分解為 A = LLᵀ，並逐步顯示下三角矩陣 L 的計算過程。可核對每個元素的推導公式，並以圖示檢視分解結果。

輸入二維、三維或更長的向量，最多 50 維，取得長度、單位向量與方向角。

輸入最大 10×10 的矩陣，取得 U、Sigma 與 V 的轉置，以及秩與條件數。

計算兩個矩陣的張量積（克羅內克積）。支援精確分數運算、逐區塊示意、可複製結果與線性代數說明。

用格拉姆－施密特過程把線性獨立向量單位正交化。附投影步驟、正交／單位正交基底、驗證與向量圖。

輸入 2×2 或 3×3 矩陣，取得特徵值、特徵向量、特徵多項式與求解步驟。

輸入 2×2 到 6×6 方陣，計算特徵多項式 det(A − λI)。結果含餘因子展開、特徵值、係數分析與多項式圖。

輸入最大 8x8 的方陣，用帶部分選主元的高斯消去法，取得下三角、上三角與排列矩陣。

將兩個最大 5x5 的矩陣相乘，逐步計算每個元素，並依列乘行拆解。

計算方陣 A 的整數次冪 Aⁿ，並顯示由 A¹ 到 Aⁿ 的中間結果。同時對照行列式與跡的變化。

求方陣的特徵值與特徵向量，並寫成 A＝PDP⁻¹ 對角化。支援 2×2 到 5×5，附特徵多項式與重數。

計算矩陣指數 e^(At)，作為線性常微分方程組的狀態轉移矩陣。輸入 A、時間 t 與可選初值，得到 x(t) 與相平面流場。

輸入最大 10×10 的矩陣，即可由列階梯形得到秩，以及行空間與零空間的維度。

計算矩陣的加減、乘法、逆矩陣、轉置與行列式。每一步列運算都會列出。

計算方陣的跡（主對角線元素之和），並核對是否等於特徵值總和。熱圖標出對角線，最高 10×10。

計算方陣的喬丹標準形，以及滿足 P⁻¹AP＝J 的轉換矩陣。處理不可對角化的情況，並附核鏈分析。

輸入最大 10×10 的方陣，用餘因子展開取得行列式，並附上步驟與矩陣性質。

以列簡化求任意矩陣的行空間與基底，逐步顯示每次列運算。標出樞紐行、秩與維度，並以 2D／3D 圖檢視行空間。

輸入 2x2 到 6x6 的方陣，用高斯－約當消去法取得逆矩陣與行列式，並檢查 A 乘上 A^-1 是不是單位矩陣 I。

把有理函數拆成部分分式，並逐步解出各項係數。分解結構可對照原式。

輸入函數分量與變數（各最多 6 個），計算雅可比矩陣、行列式、特徵值與演算步驟。

輸入一個矩陣，即可得到 Ax = 0 的一組基底、零化度、列化簡步驟，並用精確分數核對秩—零化度。