平方數列表
使用 MiniWebtool 的平方數列表，探索完全平方數。產生指定數量的平方數、在範圍內尋找平方數，或測試某個數值是否為完全平方數。
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在下方輸入需要的平方數個數、範圍或要檢驗的一個數，即可得到完全平方數及計算步驟。
已產生前 100 個平方數
100 完全平方數
範圍：1² = 1 到 100² = 10,000
數量
100
第一個
1
最後一個
10,000
和
338,350
視覺網格
n=1
1
1×1
n=2
4
2×2
n=3
9
3×3
n=4
16
4×4
n=5
25
5×5
n=6
36
6×6
n=7
49
7×7
n=8
64
8×8
n=9
81
9×9
n=10
100
10×10
n=11
121
11×11
n=12
144
12×12
n=13
169
13×13
n=14
196
14×14
n=15
225
15×15
n=16
256
16×16
n=17
289
17×17
n=18
324
18×18
n=19
361
19×19
n=20
400
20×20
n=21
441
21×21
n=22
484
22×22
n=23
529
23×23
n=24
576
24×24
n=25
625
25×25
n=26
676
26×26
n=27
729
27×27
n=28
784
28×28
n=29
841
29×29
n=30
900
30×30
n=31
961
31×31
n=32
1,024
32×32
n=33
1,089
33×33
n=34
1,156
34×34
n=35
1,225
35×35
n=36
1,296
36×36
n=37
1,369
37×37
n=38
1,444
38×38
n=39
1,521
39×39
n=40
1,600
40×40
n=41
1,681
41×41
n=42
1,764
42×42
n=43
1,849
43×43
n=44
1,936
44×44
n=45
2,025
45×45
n=46
2,116
46×46
n=47
2,209
47×47
n=48
2,304
48×48
n=49
2,401
49×49
n=50
2,500
50×50
n=51
2,601
51×51
n=52
2,704
52×52
n=53
2,809
53×53
n=54
2,916
54×54
n=55
3,025
55×55
n=56
3,136
56×56
n=57
3,249
57×57
n=58
3,364
58×58
n=59
3,481
59×59
n=60
3,600
60×60
n=61
3,721
61×61
n=62
3,844
62×62
n=63
3,969
63×63
n=64
4,096
64×64
n=65
4,225
65×65
n=66
4,356
66×66
n=67
4,489
67×67
n=68
4,624
68×68
n=69
4,761
69×69
n=70
4,900
70×70
n=71
5,041
71×71
n=72
5,184
72×72
n=73
5,329
73×73
n=74
5,476
74×74
n=75
5,625
75×75
n=76
5,776
76×76
n=77
5,929
77×77
n=78
6,084
78×78
n=79
6,241
79×79
n=80
6,400
80×80
n=81
6,561
81×81
n=82
6,724
82×82
n=83
6,889
83×83
n=84
7,056
84×84
n=85
7,225
85×85
n=86
7,396
86×86
n=87
7,569
87×87
n=88
7,744
88×88
n=89
7,921
89×89
n=90
8,100
90×90
n=91
8,281
91×91
n=92
8,464
92×92
n=93
8,649
93×93
n=94
8,836
94×94
n=95
9,025
95×95
n=96
9,216
96×96
n=97
9,409
97×97
n=98
9,604
98×98
n=99
9,801
99×99
n=100
10,000
100×100
完整列表
| n | n²（平方數） | 計算 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | = 1 × 1 |
| 2 | 4 | = 2 × 2 |
| 3 | 9 | = 3 × 3 |
| 4 | 16 | = 4 × 4 |
| 5 | 25 | = 5 × 5 |
| 6 | 36 | = 6 × 6 |
| 7 | 49 | = 7 × 7 |
| 8 | 64 | = 8 × 8 |
| 9 | 81 | = 9 × 9 |
| 10 | 100 | = 10 × 10 |
| 11 | 121 | = 11 × 11 |
| 12 | 144 | = 12 × 12 |
| 13 | 169 | = 13 × 13 |
| 14 | 196 | = 14 × 14 |
| 15 | 225 | = 15 × 15 |
| 16 | 256 | = 16 × 16 |
| 17 | 289 | = 17 × 17 |
| 18 | 324 | = 18 × 18 |
| 19 | 361 | = 19 × 19 |
| 20 | 400 | = 20 × 20 |
| 21 | 441 | = 21 × 21 |
| 22 | 484 | = 22 × 22 |
| 23 | 529 | = 23 × 23 |
| 24 | 576 | = 24 × 24 |
| 25 | 625 | = 25 × 25 |
| 26 | 676 | = 26 × 26 |
| 27 | 729 | = 27 × 27 |
| 28 | 784 | = 28 × 28 |
| 29 | 841 | = 29 × 29 |
| 30 | 900 | = 30 × 30 |
| 31 | 961 | = 31 × 31 |
| 32 | 1,024 | = 32 × 32 |
| 33 | 1,089 | = 33 × 33 |
| 34 | 1,156 | = 34 × 34 |
| 35 | 1,225 | = 35 × 35 |
| 36 | 1,296 | = 36 × 36 |
| 37 | 1,369 | = 37 × 37 |
| 38 | 1,444 | = 38 × 38 |
| 39 | 1,521 | = 39 × 39 |
| 40 | 1,600 | = 40 × 40 |
| 41 | 1,681 | = 41 × 41 |
| 42 | 1,764 | = 42 × 42 |
| 43 | 1,849 | = 43 × 43 |
| 44 | 1,936 | = 44 × 44 |
| 45 | 2,025 | = 45 × 45 |
| 46 | 2,116 | = 46 × 46 |
| 47 | 2,209 | = 47 × 47 |
| 48 | 2,304 | = 48 × 48 |
| 49 | 2,401 | = 49 × 49 |
| 50 | 2,500 | = 50 × 50 |
| 51 | 2,601 | = 51 × 51 |
| 52 | 2,704 | = 52 × 52 |
| 53 | 2,809 | = 53 × 53 |
| 54 | 2,916 | = 54 × 54 |
| 55 | 3,025 | = 55 × 55 |
| 56 | 3,136 | = 56 × 56 |
| 57 | 3,249 | = 57 × 57 |
| 58 | 3,364 | = 58 × 58 |
| 59 | 3,481 | = 59 × 59 |
| 60 | 3,600 | = 60 × 60 |
| 61 | 3,721 | = 61 × 61 |
| 62 | 3,844 | = 62 × 62 |
| 63 | 3,969 | = 63 × 63 |
| 64 | 4,096 | = 64 × 64 |
| 65 | 4,225 | = 65 × 65 |
| 66 | 4,356 | = 66 × 66 |
| 67 | 4,489 | = 67 × 67 |
| 68 | 4,624 | = 68 × 68 |
| 69 | 4,761 | = 69 × 69 |
| 70 | 4,900 | = 70 × 70 |
| 71 | 5,041 | = 71 × 71 |
| 72 | 5,184 | = 72 × 72 |
| 73 | 5,329 | = 73 × 73 |
| 74 | 5,476 | = 74 × 74 |
| 75 | 5,625 | = 75 × 75 |
| 76 | 5,776 | = 76 × 76 |
| 77 | 5,929 | = 77 × 77 |
| 78 | 6,084 | = 78 × 78 |
| 79 | 6,241 | = 79 × 79 |
| 80 | 6,400 | = 80 × 80 |
| 81 | 6,561 | = 81 × 81 |
| 82 | 6,724 | = 82 × 82 |
| 83 | 6,889 | = 83 × 83 |
| 84 | 7,056 | = 84 × 84 |
| 85 | 7,225 | = 85 × 85 |
| 86 | 7,396 | = 86 × 86 |
| 87 | 7,569 | = 87 × 87 |
| 88 | 7,744 | = 88 × 88 |
| 89 | 7,921 | = 89 × 89 |
| 90 | 8,100 | = 90 × 90 |
| 91 | 8,281 | = 91 × 91 |
| 92 | 8,464 | = 92 × 92 |
| 93 | 8,649 | = 93 × 93 |
| 94 | 8,836 | = 94 × 94 |
| 95 | 9,025 | = 95 × 95 |
| 96 | 9,216 | = 96 × 96 |
| 97 | 9,409 | = 97 × 97 |
| 98 | 9,604 | = 98 × 98 |
| 99 | 9,801 | = 99 × 99 |
| 100 | 10,000 | = 100 × 100 |
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1,024, 1,089, 1,156, 1,225, 1,296, 1,369, 1,444, 1,521, 1,600, 1,681, 1,764, 1,849, 1,936, 2,025, 2,116, 2,209, 2,304, 2,401, 2,500, 2,601, 2,704, 2,809, 2,916, 3,025, 3,136, 3,249, 3,364, 3,481, 3,600, 3,721, 3,844, 3,969, 4,096, 4,225, 4,356, 4,489, 4,624, 4,761, 4,900, 5,041, 5,184, 5,329, 5,476, 5,625, 5,776, 5,929, 6,084, 6,241, 6,400, 6,561, 6,724, 6,889, 7,056, 7,225, 7,396, 7,569, 7,744, 7,921, 8,100, 8,281, 8,464, 8,649, 8,836, 9,025, 9,216, 9,409, 9,604, 9,801, 10,000
有趣的模式
奇數和
前 n 個奇數的和等於 n²。例如：1+3+5+7 = 16 = 4²
最後一個數位模式
平方數只能以 0、1、4、5、6 或 9 結尾。永遠不會是 2、3、7 或 8！
連續差
連續平方數之間的差總是奇數：(n+1)² - n² = 2n + 1
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平方數列表
歡迎使用 平方數列表產生器，一個用於產生、探索和理解完全平方數的綜合工具。產生前 N 個平方數、在任何範圍內查找平方數或檢查一個數字是否為完全平方數。通過互動視覺化、逐步公式和模式探索，此計算機讓學習平方數變得有趣和直觀。
功能概覽
平方數列表可用三種方式產生完全平方數：前 N 個平方數、指定範圍內的所有平方數，或檢查單一數字是否為完全平方數。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 前 N 個平方數 | 輸入 1 至 1000 之間的數量，列出前 N 個平方數，每個都附有 n x n 的計算式。 | 作業表格與數列規律練習 |
| 範圍搜尋 | 輸入起始值與結束值，列出其間所有完全平方數。 | 在有限區間內尋找平方數 |
| 完全平方數檢查 | 輸入任一數字，即可判斷它是否為完全平方數。 | 快速測試一個數字 |
| 逐步說明 | 計算拆解顯示每個平方數如何形成。 | 學生了解平方數的構成 |
| 視覺化 | 可互動的平方圖案顯示。 | 理解為何 n 的平方稱為「平方」 |
| 匯出 | 將結果複製到剪貼簿，或匯出為 CSV。 | 將清單移到試算表或文件中 |
| 性質 | 說明平方數的特性，例如可能的個位數，以及奇數和的規律。 | 在清單中發現規律 |
什麼是平方數？
平方數（也稱為完全平方數）是整數乘以自身所得的整數。在數學符號中，如果 n 是整數，則 n² = n × n 是平方數。例如，49 是完全平方數，因為 49 = 7 × 7。
平方數公式
$$n^2 = n \times n$$
前十個平方數是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
前 20 個平方數
| n | n² | 計算 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 × 1 |
| 2 | 4 | 2 × 2 |
| 3 | 9 | 3 × 3 |
| 4 | 16 | 4 × 4 |
| 5 | 25 | 5 × 5 |
| 6 | 36 | 6 × 6 |
| 7 | 49 | 7 × 7 |
| 8 | 64 | 8 × 8 |
| 9 | 81 | 9 × 9 |
| 10 | 100 | 10 × 10 |
| 11 | 121 | 11 × 11 |
| 12 | 144 | 12 × 12 |
| 13 | 169 | 13 × 13 |
| 14 | 196 | 14 × 14 |
| 15 | 225 | 15 × 15 |
| n | n² | 計算 |
|---|---|---|
| 16 | 256 | 16 × 16 |
| 17 | 289 | 17 × 17 |
| 18 | 324 | 18 × 18 |
| 19 | 361 | 19 × 19 |
| 20 | 400 | 20 × 20 |
平方數的性質
- 最後一個數位：平方數只能以 0、1、4、5、6 或 9 結尾（永遠不會以 2、3、7 或 8 結尾）
- 奇數和：前 n 個奇數的和等於 n²（例如 1+3+5+7 = 16 = 4²）
- 連續差：連續平方數之間的差總是奇數：(n+1)² - n² = 2n + 1
- 因數： 對於正平方數（n² > 0）：完全平方數具有奇數個因數
- 數位根： 對於正平方數（n² > 0）：平方數的數位根總是 1、4、7 或 9
平方數的和
前 n 個平方數的和可以使用以下公式計算：
前 n 個平方數的和
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
如何使用此計算機
- 前 N 個平方數：輸入您想要多少個平方數（1-1000）並點擊產生。
- 平方數範圍：輸入開始值和結束值以查找該範圍內的所有平方數。
- 檢查數字：輸入任何數字以驗證它是否為完全平方數。
常見問題
什麼是平方數（完全平方數）？
平方數（或完全平方數）是可以表示為整數乘以自身的整數。例如，25 是平方數，因為 25 = 5 × 5。前十個平方數是 1、4、9、16、25、36、49、64、81 和 100。
如何產生平方數列表？
要產生前 N 個平方數，只需輸入要產生多少個平方數（例如 10）並點擊產生。計算機將計算 1 到 N 的每個值的 n²。例如，對於 N=5，您得到：1²=1、2²=4、3²=9、4²=16、5²=25。
平方數有什麼性質？
對於正平方數（n² > 0）：平方數具有有趣的性質：(1) 它們總是以 0、1、4、5、6 或 9 結尾；(2) 連續平方數之間的差遵循 2n+1（奇數）的模式；(3) 前 n 個奇數的和等於 n²；(4) 平方數具有奇數個因數；(5) 平方數的數位根總是 1、4、7 或 9。
如何檢查一個數字是否為完全平方數？
如果一個數字的平方根是整數，則該數字是完全平方數。例如，√144 = 12（整數），所以 144 是完全平方數。您也可以使用此計算機中的「檢查數字」模式，它可以立即驗證任何數字。
第 n 個平方數的公式是什麼？
第 n 個平方數的公式很簡單：n²。例如，第 7 個平方數是 7² = 49。此外，前 n 個平方數的和可以使用公式計算：n(n+1)(2n+1)/6。
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由 miniwebtool 團隊創建。更新：2026 年 1 月 18 日
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