Máy tính Phân số liên tục

Chào mừng bạn đến với Máy tính phân số liên tục — một công cụ mạnh mẽ chuyển đổi bất kỳ số thập phân, phân số hoặc căn bậc hai nào thành biểu diễn phân số liên tục của nó. Xem ký hiệu nổi tiếng [a₀; a₁, a₂, ...], khám phá các xấp xỉ hữu tỉ (giản phân) và trực quan hóa cấu trúc phân số lồng nhau một cách tương tác.

Phân số liên tục là gì?

Một phân số liên tục là một cách biểu diễn một số dưới dạng một dãy lồng nhau gồm các phần nguyên và các phân số:

Trong đó a₀, a₁, a₂, ... là các số nguyên không âm được gọi là thương riêng. Ký hiệu tiêu chuẩn là [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Một số ví dụ đáng chú ý:

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — con số 292 có nghĩa là pi được xấp xỉ cực kỳ tốt bởi 355/113
• φ (tỷ lệ vàng) = [1; 1, 1, 1, ...] — phân số liên tục hội tụ chậm nhất
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — tuần hoàn, theo dự đoán của định lý Lagrange
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — một quy luật đẹp mắt

Thuật toán hoạt động như thế nào

Đối với bất kỳ số thập phân x nào

1. Tính a₀ = ⌊x⌋ (phần nguyên của x)
2. Đặt x₁ = 1/(x − a₀), sau đó tính a₁ = ⌊x₁⌋
3. Lặp lại: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Dừng lại khi phần phân số bằng không (hữu tỉ) hoặc bạn đã có đủ số hạng

Đối với một phân số p/q (Thuật toán Euclid)

Đối với một phân số, thuật toán này giống hệt với thuật toán Euclid để tìm GCD:

Mỗi bước chia của thuật toán Euclid tạo ra một thương riêng của phân số liên tục.

Giản phân: Các xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất

Các giản phân pₙ/qₙ thu được bằng cách cắt ngắn phân số liên tục tại mỗi bước. Chúng thỏa mãn một tính chất đáng chú ý: pₙ/qₙ là xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất cho x với mẫu số ≤ qₙ.

Phân số liên tục tuần hoàn

Theo định lý Lagrange, một số thực có phân số liên tục tuần hoàn khi và chỉ khi nó là một số vô tỉ bậc hai (nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số nguyên). Điều này bao gồm tất cả các căn bậc hai của các số nguyên không phải là số chính phương.

• √2 = [1; 2] — chu kỳ độ dài 1
• √3 = [1; 1, 2] — chu kỳ độ dài 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — chu kỳ độ dài 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — chu kỳ độ dài 16

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập một giá trị: số thập phân (ví dụ: 2.71828), phân số (ví dụ: 355/113), hoặc căn bậc hai (ví dụ: sqrt(7))
2. Đặt số lượng số hạng tối đa: nhiều số hạng hơn sẽ cho nhiều thương riêng và giản phân hơn
3. Nhấp vào Tính toán: xem ký hiệu CF, các số hạng động, trực quan hóa lồng nhau, bảng giản phân và các bước Euclid (đối với phân số)

Các câu hỏi thường gặp

Phân số liên tục là gì?

Phân số liên tục là một biểu thức có dạng a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) trong đó a₀, a₁, a₂, ... là các số nguyên được gọi là thương riêng. Mọi số thực đều có một khai triển phân số liên tục. Các số hữu tỉ có khai triển hữu hạn; các số vô tỉ có khai triển vô hạn. Các số vô tỉ bậc hai (như căn bậc hai) có khai triển tuần hoàn.

Làm thế nào để chuyển đổi một số thập phân thành phân số liên tục?

Lấy phần nguyên làm số hạng đầu tiên. Trừ nó khỏi số đó, lấy nghịch đảo và lặp lại. Ví dụ, π ≈ 3.14159...: phần nguyên = 3, phần dư = 0.14159..., nghịch đảo = 7.062..., phần nguyên = 7, phần dư = 0.062..., nghịch đảo = 15.996..., phần nguyên = 15, cho kết quả [3; 7, 15, ...].

Tại sao sqrt(2) có phân số liên tục tuần hoàn?

Theo định lý Lagrange, một số thực có phân số liên tục tuần hoàn chính xác khi nó là một số vô tỉ bậc hai. √2 thỏa mãn x² = 2, vì vậy nó là số vô tỉ bậc hai, cho kết quả [1; 2, 2, 2, ...]. Tỷ lệ vàng φ = (1 + √5)/2 cho kết quả [1; 1, 1, 1, ...] — chu kỳ đơn giản nhất có thể.

Giản phân là gì và tại sao chúng lại quan trọng?

Giản phân là các phân số thu được bằng cách cắt ngắn phân số liên tục. Chúng là những xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất — không có phân số nào có mẫu số nhỏ hơn mà lại gần số mục tiêu hơn. Đây là lý do tại sao 22/7 và 355/113 là những xấp xỉ nổi tiếng cho π: chúng là các giản phân của phân số liên tục của π.

Thuật toán phân số liên tục liên quan như thế nào đến thuật toán Euclid?

Khi đầu vào là một phân số p/q, việc tính toán phân số liên tục của nó giống hệt với thuật toán GCD Euclid. Mỗi bước tìm phần dư và thương tạo ra chính xác một thương riêng. Phân số liên tục kết thúc chính xác khi tìm thấy GCD.

Tài nguyên bổ sung

• Phân số liên tục - Wikipedia
• Giản phân - Wikipedia
• Thuật toán Euclid - Wikipedia