เครื่องตรวจสอบลำดับดีกรีของกราฟ
ใช้อัลกอริทึม Havel-Hakimi เพื่อตรวจสอบว่าลำดับตัวเลขที่กำหนดสามารถสร้างกราฟอย่างง่ายแบบไม่มีทิศทางได้หรือไม่ มาพร้อมการแสดงภาพทีละขั้นตอน เมทริกซ์ประชิด และการจำลองกราฟตัวอย่าง
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้
MiniWebtool ให้ใช้งานฟรีเพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วย Premium (ไม่มีโฆษณา + เร็วขึ้น) หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วรีโหลดหน้าเว็บ
- หรืออัปเกรดเป็น Premium (ไม่มีโฆษณา)
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วรีโหลด
เกี่ยวกับ เครื่องตรวจสอบลำดับดีกรีของกราฟ
ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องตรวจสอบลำดับดีกรีของกราฟ เครื่องมืออันทรงพลังที่ใช้ อัลกอริทึม Havel-Hakimi เพื่อพิจารณาว่าลำดับจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่กำหนดให้นั้นสามารถสร้างกราฟอย่างง่ายแบบไม่มีทิศทางได้หรือไม่ เครื่องมือนี้มีการแสดงภาพอัลกอริทึมทีละขั้นตอนแบบเคลื่อนไหว การแสดงผลกราฟแบบโต้ตอบสำหรับลำดับที่ถูกต้อง และเมทริกซ์ประชิดที่สมบูรณ์ เหมาะสำหรับนักเรียน นักศึกษา ครูผู้สอน และนักวิจัยในด้านทฤษฎีกราฟและคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง
ลำดับดีกรีคืออะไร?
ในทฤษฎีกราฟ ลำดับดีกรี คือลำดับแบบไม่เพิ่ม (non-increasing) ของดีกรีจุดยอดของกราฟ ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่ประชิดกับจุดยอดนั้น ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม (จุดยอด 3 จุด, เส้นเชื่อม 3 เส้น) ทุกจุดยอดจะมีดีกรี 2 ดังนั้นลำดับดีกรีคือ (2, 2, 2)
ลำดับดีกรีจะถูกเรียกว่า graphical หากมีกราฟอย่างง่ายอย่างน้อยหนึ่งกราฟ (ไม่มีวงวนในตัว, ไม่มีเส้นเชื่อมซ้ำ) ที่มีดีกรีจุดยอดตรงกับลำดับนั้น ไม่ใช่ทุกลำดับของจำนวนเต็มไม่เป็นลบจะเป็น graphical ตัวอย่างเช่น (3, 1, 1) ไม่เป็น graphical เพราะจุดยอดหนึ่งจุดต้องมีการเชื่อมต่อ 3 เส้นแต่มีจุดยอดอื่นเหลืออยู่เพียง 2 จุด
อัลกอริทึม Havel-Hakimi
อัลกอริทึม Havel-Hakimi (ตั้งชื่อตาม Václav Havel และ Samuel Louis Hakimi) เป็นอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำที่ใช้ตรวจสอบว่าลำดับจำกัดของจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่กำหนดให้นั้นเป็น graphical หรือไม่ เป็นหนึ่งในอัลกอริทึมที่สง่างามที่สุดในคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง
ขั้นตอนของอัลกอริทึม
while sequence is not empty:
เรียงลำดับ sequence จากมากไปน้อย
ลบเลขศูนย์ที่อยู่ข้างหน้าออก
if sequence ว่าง: return GRAPHICAL
d ← องค์ประกอบแรก // ดีกรีที่มากที่สุด
ลบองค์ประกอบแรกออก
if d > จำนวนที่เหลืออยู่: return NOT GRAPHICAL
ลบ 1 ออกจาก d องค์ประกอบถัดไปแต่ละตัว
if มีองค์ประกอบใดเป็นลบ: return NOT GRAPHICAL
return GRAPHICAL
ทฤษฎีบท Havel-Hakimi
สำหรับ \( n \geq 1 \) ลำดับแบบไม่เพิ่ม \( d_1 \geq d_2 \geq \cdots \geq d_n \) ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบจะเป็น graphical ก็ต่อเมื่อ ลำดับ
$$d_2 - 1,\; d_3 - 1,\; \ldots,\; d_{d_1+1} - 1,\; d_{d_1+2},\; \ldots,\; d_n$$เป็น graphical
Handshaking Lemma (บทนิยามการจับมือ)
ข้อกำหนดเบื้องต้นพื้นฐานสำหรับลำดับดีกรีใดๆ คือ Handshaking Lemma:
ผลรวมของดีกรีจุดยอดทั้งหมดจะเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สิ่งนี้บ่งชี้ทันทีว่าผลรวมของลำดับดีกรีต้องเป็น เลขคู่ หากผลรวมเป็นเลขคี่ ลำดับนั้นจะเป็น graphical ไม่ได้เด็ดขาด เนื่องจากไม่สามารถสร้างกราฟให้เกิดขึ้นจริงได้
ทฤษฎีบท Erdos-Gallai
อีกหนึ่งการระบุลักษณะของลำดับ graphical คือ ทฤษฎีบท Erdős–Gallai:
ลำดับแบบไม่เพิ่ม \( d_1 \geq d_2 \geq \cdots \geq d_n \) จะเป็น graphical ก็ต่อเมื่อผลรวมเป็นเลขคู่ และสำหรับแต่ละ \( k = 1, 2, \ldots, n \):
$$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq k(k-1) + \sum_{i=k+1}^{n} \min(d_i, k)$$แม้ว่าทฤษฎีบท Erdős–Gallai จะให้การระบุลักษณะในรูปแบบปิด แต่อัลกอริทึม Havel-Hakimi มักถูกเลือกใช้ในทางปฏิบัติมากกว่าเนื่องจากความเรียบง่ายและข้อเท็จจริงที่ว่ามันสร้างกราฟขึ้นมาให้เห็นได้จริง
วิธีใช้เครื่องมือนี้
- ป้อนลำดับดีกรี: พิมพ์รายการจำนวนเต็มไม่เป็นลบ คั่นด้วยจุลภาคหรือเว้นวรรค ใช้ตัวอย่างด่วนเพื่อเริ่มต้น
- คลิกตรวจสอบ: เครื่องมือจะตรวจสอบเงื่อนไขพาริตีและรันอัลกอริทึม Havel-Hakimi
- ชมภาพเคลื่อนไหว: ใช้ปุ่มควบคุมขั้นตอน (เล่น, ถัดไป, แสดงทั้งหมด, รีเซ็ต) เพื่อดูภาพจำลองในแต่ละรอบของอัลกอริทึม
- สำรวจผลลัพธ์: สำหรับลำดับที่เป็น graphical คุณสามารถดูการแสดงผลกราฟตัวอย่างและเมทริกซ์ประชิดได้
ทำความเข้าใจกับผลลัพธ์
- คำตัดสิน (Verdict): ลำดับนั้นเป็น graphical (สามารถสร้างกราฟอย่างง่ายได้) หรือไม่
- ตรวจสอบพาริตี (Parity Check): ผลรวมของดีกรีเป็นเลขคู่หรือไม่ (เงื่อนไขที่จำเป็น)
- ขั้นตอนของอัลกอริทึม: การวนซ้ำแต่ละรอบของ Havel-Hakimi พร้อมการติดตามองค์ประกอบด้วยรหัสสี
- การแสดงผลกราฟ: กราฟอย่างง่ายตัวอย่างที่สอดคล้องกับลำดับดีกรี (หากเป็น graphical)
- เมทริกซ์ประชิด: การแสดงผลเมทริกซ์ 0/1 ของกราฟตัวอย่าง
การประยุกต์ใช้ลำดับดีกรี
การออกแบบเครือข่าย
ในการออกแบบเครือข่ายการสื่อสารหรือการขนส่ง วิศวกรจำเป็นต้องทราบว่ารูปแบบการเชื่อมต่อที่ต้องการนั้นสามารถทำได้จริงหรือไม่ การตรวจสอบลำดับดีกรีช่วยให้แน่ใจว่าโทโพโลยีเครือข่ายที่วางแผนไว้นั้นสามารถสร้างขึ้นได้จริงก่อนที่จะลงมือใช้ทรัพยากร
การวิเคราะห์เครือข่ายสังคม
ในสังคมศาสตร์ นักวิจัยจำลองเครือข่ายสังคมเป็นกราฟ ลำดับดีกรีจะอธิบายการกระจายของการเชื่อมต่อ การตรวจสอบว่าการกระจายดีกรีที่สังเกตได้สามารถสร้างเครือข่ายอย่างง่ายได้หรือไม่ ช่วยในการสร้างแบบจำลองและการศึกษาจำลองสถานการณ์
ชีวสารสนเทศศาสตร์
เครือข่ายปฏิสัมพันธ์ระหว่างโปรตีนและเครือข่ายควบคุมยีนถูกจำลองเป็นกราฟ การวิเคราะห์ลำดับดีกรีช่วยให้นักวิจัยเข้าใจคุณสมบัติของเครือข่ายและสร้างกราฟแบบสุ่มที่มีการกระจายดีกรีเดียวกันเพื่อใช้ในการทดสอบโมเดลว่าง (null model)
การศึกษาด้านการออกแบบอัลกอริทึม
อัลกอริทึม Havel-Hakimi เป็นพื้นฐานสำคัญของหลักสูตรคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแสดงให้เห็นถึงแนวคิดหลัก เช่น อัลกอริทึมแบบกาม (Greedy algorithms), การอุปนัย (Induction) และการสร้างกราฟ เครื่องมือนี้ช่วยให้นักเรียนเห็นภาพและเข้าใจแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึม
คำถามที่พบบ่อย
ลำดับดีกรีในทฤษฎีกราฟคืออะไร?
ลำดับดีกรีคือรายการของจำนวนเต็มไม่เป็นลบที่แสดงถึงจำนวนเส้นเชื่อมที่เชื่อมต่อกับแต่ละจุดยอดในกราฟ ตัวอย่างเช่น ลำดับ (3, 2, 2, 1) หมายความว่ามีหนึ่งจุดยอดที่มี 3 เส้นเชื่อม, สองจุดยอดที่มี 2 เส้นเชื่อมต่อจุด และหนึ่งจุดยอดที่มี 1 เส้นเชื่อม ลำดับดีกรีที่ใช้งานได้ (Graphical) ต้องมีผลรวมเป็นเลขคู่ เนื่องจากแต่ละเส้นเชื่อมจะเพิ่มดีกรีรวมเป็น 2
อัลกอริทึม Havel-Hakimi คืออะไร?
อัลกอริทึม Havel-Hakimi เป็นวิธีการแบบเรียกซ้ำเพื่อพิจารณาว่าลำดับจำกัดของจำนวนเต็มไม่เป็นลบสามารถเป็นลำดับดีกรีของกราฟอย่างง่ายได้หรือไม่ ทำงานโดยการเรียงลำดับจากมากไปน้อยซ้ำๆ ลบองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด d ออก และลบ 1 ออกจาก d องค์ประกอบถัดไป หากกระบวนการลดลงจนเป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงว่าลำดับนั้นเป็น graphical; หากปรากฏเลขลบหรือ d เกินจำนวนที่เหลืออยู่ แสดงว่าไม่เป็น graphical
การที่ลำดับเป็น graphical หมายถึงอะไร?
ลำดับของจำนวนเต็มไม่เป็นลบเรียกว่า graphical หากมีกราฟอย่างง่ายแบบไม่มีทิศทาง (ไม่มีวงวนในตัว, ไม่มีเส้นเชื่อมซ้ำ) ซึ่งจุดยอดมีดีกรีตรงตามลำดับเหล่านั้นพอดี ตัวอย่างเช่น (2, 2, 2) เป็น graphical เพราะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ ในขณะที่ (3, 1, 1) ไม่เป็น graphical เพราะจุดยอดเดียวไม่สามารถเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่นอีก 3 จุดได้เมื่อมีจุดยอดอื่นเหลืออยู่เพียง 2 จุด
ทำไมผลรวมของลำดับดีกรีต้องเป็นเลขคู่?
นี่เป็นผลมาจาก Handshaking Lemma (บทนิยามการจับมือ) ซึ่งระบุว่าผลรวมของดีกรีจุดยอดทั้งหมดในกราฟใดๆ จะเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม เนื่องจากสองเท่าของจำนวนเต็มใดๆ ย่อมเป็นเลขคู่ ผลรวมของลำดับดีกรีจึงต้องเป็นเลขคู่ นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ยังไม่เพียงพอ) สำหรับการเป็นลำดับแบบ graphical
ทฤษฎีบท Erdos-Gallai คืออะไร?
ทฤษฎีบท Erdős-Gallai ให้ชุดของอสมการที่ลำดับไม่เพิ่มของจำนวนเต็มไม่เป็นลบต้องสอดคล้องเพื่อให้เป็น graphical ลำดับ d1 >= d2 >= ... >= dn จะเป็น graphical ก็ต่อเมื่อผลรวมเป็นเลขคู่ และสำหรับแต่ละ k จาก 1 ถึง n ผลรวมของ k พจน์แรกต้องไม่เกิน k(k-1) บวกกับผลรวมของ min(dk, k) ของพจน์ที่เหลือ อัลกอริทึม Havel-Hakimi มักถูกเลือกใช้ในทางปฏิบัติมากกว่าเพราะนำไปใช้ได้ง่ายกว่า
แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องตรวจสอบลำดับดีกรีของกราฟ" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 19 ก.พ. 2026
คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.