วิธีคำนวณเทรซของเมทริกซ์ทำอย่างไร?

วิธีคำนวณเทรซ: (1) ระบุองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก a₁₁, a₂₂, ..., aₙₙ ซึ่งคือตำแหน่งที่ดัชนีแถวเท่ากับดัชนีหลัก (2) นำมาบวกกัน: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + aₙₙ ตัวอย่างเช่น สำหรับ [[1,2],[3,4]] เทรซคือ 1 + 4 = 5

เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์

Q: เทรซของเมทริกซ์คืออะไร?

เทรซ (trace) ของเมทริกซ์จัตุรัส A เขียนแทนด้วย tr(A) คือผลรวมขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + aₙₙ โดยจะนิยามเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัส (n×n) เท่านั้น เทรซเป็นหนึ่งในอินแวเรียนต์ของเมทริกซ์ที่พื้นฐานที่สุดในพีชคณิตเชิงเส้น

Q: เทรซมีความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะอย่างไร?

เทรซของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues) ของมัน (นับรวมตามความพหุคูณทางพีชคณิต): tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ เนื่องจากทั้งเทรซและผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะต่างก็มีค่าเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของ xⁿ⁻¹ ในพหุนามลักษณะเฉพาะ

Q: ทำไมเทรซถึงมีความสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น?

เทรซเป็นค่าคงตัวภายใต้การแปลงคล้าย ซึ่งหมายความว่าจะไม่เปลี่ยนไปตามการเปลี่ยนฐาน เมื่อพิจารณาร่วมกับดีเทอร์มิแนนต์ เทรซจะช่วยอธิบายลักษณะของการแปลงเชิงเส้น ในทางฟิสิกส์ เทรซปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัม (ค่าคาดหมาย) ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ริชชีสเกลาร์) และกลศาสตร์สถิติ (ฟังก์ชันพาร์ทิชัน) ในด้านแมชชีนเลิร์นนิง ใช้ในการทำ Regularization และวิธีการเคอร์เนล

คำนวณหาเทรซของเมทริกซ์จัตุรัส (ผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก) ตรวจสอบความเท่ากันกับผลรวมของค่าเจาะจง สำรวจคุณสมบัติของเทรซ และแสดงภาพเส้นทแยงมุมด้วยฮีทแมพแบบโต้ตอบ รองรับเมทริกซ์ขนาดสูงสุด 10×10

เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์

ลองใช้เมทริกซ์ตัวอย่าง:

3×3 พื้นฐาน (tr=15) 3×3 เอกลักษณ์ (tr=3) 2×2 ไม่มีเทรซ 3×3 เศษส่วน (tr=5/2) 4×4 ทั่วไป (tr=14)

ป้อนเมทริกซ์จัตุรัส (หนึ่งแถวต่อหนึ่งบรรทัด)

ความแม่นยำทศนิยม

แสดงผลเป็นเศษส่วน

หมายเหตุ: เทรซจะนิยามเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ป้อนหนึ่งแถวต่อหนึ่งบรรทัด แยกค่าด้วยจุลภาคหรือเว้นวรรค รองรับสูงสุด 10×10

Embed เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์ เครื่องมือแบบโต้ตอบสำหรับคำนวณเทรซของเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ — ซึ่งก็คือผลรวมขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก เทรซดูเหมือนจะเรียบง่ายแต่มีความสำคัญอย่างยิ่ง: มันมีค่าเท่ากับผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ, ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคล้าย และปรากฏอยู่ในทุกที่ตั้งแต่กลศาสตร์ควอนตัมไปจนถึงแมชชีนเลิร์นนิง เครื่องคำนวณนี้แสดงขั้นตอนการคำนวณอย่างละเอียด, การตรวจสอบค่าลักษณะเฉพาะ, เทรซของเลขยกกำลังเมทริกซ์, การตรวจจับคุณสมบัติ และแผนภาพความร้อนที่เน้นเส้นทแยงมุม

เทรซของเมทริกซ์คืออะไร?

เทรซ (trace) ของเมทริกซ์ A ขนาด n×n เขียนแทนด้วย tr(A) นิยามว่าเป็นผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุม:

นิยามของเทรซ

$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

เฉพาะ เมทริกซ์จัตุรัส (จำนวนแถวและหลักเท่ากัน) เท่านั้นที่มีเทรซ มันเป็นหนึ่งในสองฟังก์ชันสเกลาร์ที่พื้นฐานที่สุดของเมทริกซ์ — อีกอย่างหนึ่งคือดีเทอร์มิแนนต์

เทรซและค่าลักษณะเฉพาะ

หนึ่งในคุณสมบัติที่น่าทึ่งที่สุดของเทรซคือความเกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues):

ความสัมพันธ์ระหว่างเทรซและค่าลักษณะเฉพาะ

$$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงแม้ว่าค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน — ส่วนจินตภาพจะหักล้างกันเสมอสำหรับเมทริกซ์จริง ทำให้ได้เทรซที่เป็นจำนวนจริง เอกลักษณ์นี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งเทรซและผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะต่างก็มีค่าเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของ $x^{n-1}$ ในพหุนามลักษณะเฉพาะ $\det(A - xI)$

คุณสมบัติหลักของเทรซ

ความเป็นเชิงเส้น (Linearity)

เทรซเป็น ฟังก์ชันเชิงเส้น บนปริภูมิของเมทริกซ์:

$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
$\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$ สำหรับสเกลาร์ c ใดๆ

คุณสมบัติการเวียนรอบ (Cyclic Property)

เทรซจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับที่แบบเวียนรอบของผลคูณเมทริกซ์:

คุณสมบัติการเวียนรอบ

$$\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$$

หมายเหตุ: สิ่งนี้ ไม่ได้ หมายความว่า tr(ABC) = tr(BAC) โดยทั่วไป อนุญาตเฉพาะการสลับที่แบบ เวียนรอบ เท่านั้น

การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคล้าย (Similarity Invariance)

ถ้า B = P^-1AP สำหรับเมทริกซ์ P ที่หาอินเวิร์สได้ จะได้ว่า tr(B) = tr(A) สิ่งนี้ทำให้เทรซเป็น อินแวเรียนต์ของการแปลงคล้าย หมายความว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน (basis)

การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับเปลี่ยน (Transpose Invariance)

tr(A) = tr(A^T) เพราะการสลับเปลี่ยนเมทริกซ์ไม่ได้ทำให้ค่าบนเส้นทแยงมุมเปลี่ยนไป

ความสัมพันธ์กับนอร์มโฟรเบเนียส (Frobenius Norm)

นอร์มโฟรเบเนียสผ่านเทรซ

$$\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$$

การประยุกต์ใช้งานของเทรซ

⚗

กลศาสตร์ควอนตัม

ค่าคาดหมายของตัวสังเกตได้คือ $\langle A \rangle = \text{tr}(\rho A)$ โดยที่ ρ คือเมทริกซ์ความหนาแน่น เทรซเป็นหัวใจสำคัญในการคำนวณค่าคาดหมาย, เอนโทรปีความพัวพัน และความแม่นยำ (fidelity)

🌐

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ริชชีสเกลาร์ (Ricci scalar) R = g^μνR_μν คือเทรซของริชชีเทนเซอร์เมื่อเทียบกับเมตริก มันเป็นตัววัดความโค้งของกาลอวกาศ

📊

แมชชีนเลิร์นนิง

Trace regularization tr(W^TW) ช่วยลงโทษน้ำหนัก (weights) ที่มีขนาดใหญ่ และนิวเคลียร์นอร์ม (เทรซนอร์ม) ถูกใช้สำหรับการเติมเมทริกซ์ให้สมบูรณ์และการหาค่าที่เหมาะสมในอันดับต่ำ

🎯

สถิติ

ในสถิติพหุตัวแปร ความแปรปรวนรวมของเวกเตอร์สุ่มจะเท่ากับเทรซของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม: total variance = tr(Σ)

ประเภทพิเศษของเมทริกซ์และเทรซของมัน

ประเภทเมทริกซ์	คุณสมบัติของเทรซ	ตัวอย่าง
เมทริกซ์เอกลักษณ์ I_n	tr(I) = n	tr(I₃) = 3
เมทริกซ์ศูนย์	tr(0) = 0	ทุกสมาชิกเป็นศูนย์
เมทริกซ์เฉียง (Diagonal)	tr = ผลรวมของเส้นทแยงมุม	tr(diag(2,5,3)) = 10
ไม่มีเทรซ (sl(n))	tr(A) = 0	เมทริกซ์เพาลี, ตัวกำเนิด SU(n)
สมมาตร (Symmetric)	tr = ผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง	ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นจำนวนจริง
ออร์โธโกนัล (Orthogonal)	\|tr(A)\| ≤ n	เมทริกซ์การหมุน
ไอดิมโพเทนต์ (Idempotent)	tr(A) = rank(A)	เมทริกซ์การฉาย (Projection)
นิลโพเทนต์ (Nilpotent)	tr(A^k) = 0 สำหรับทุกค่า k	ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นศูนย์

เทรซของเลขยกกำลังเมทริกซ์และเอกลักษณ์ของนิวตัน

เทรซของเลขยกกำลังของเมทริกซ์ tr(A), tr(A²), tr(A³), ... บรรจุข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับสเปกตรัมของค่าลักษณะเฉพาะ ผ่านทาง เอกลักษณ์ของนิวตัน (Newton’s identities) เทรซเหล่านี้สามารถสร้างพหุนามลักษณะเฉพาะทั้งหมดขึ้นมาใหม่ได้:

ความสัมพันธ์ของเทรซเลขยกกำลัง

$$\text{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$$

นี่หมายความว่าลำดับของเทรซ {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} จะกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของ A ได้อย่างสมบูรณ์

คำถามที่พบบ่อย

เทรซของเมทริกซ์คืออะไร?

เทรซของเมทริกซ์จัตุรัส A เขียนแทนด้วย tr(A) คือผลรวมขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn โดยจะนิยามเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัส (n×n) เท่านั้น เทรซเป็นหนึ่งในอินแวเรียนต์ของเมทริกซ์ที่พื้นฐานที่สุดในพีชคณิตเชิงเส้น

เทรซมีความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะอย่างไร?

เทรซของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ (นับตามความพหุคูณทางพีชคณิต): tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n เนื่องจากทั้งเทรซและผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะต่างก็มีค่าเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของ x^n-1 ในพหุนามลักษณะเฉพาะ

คุณสมบัติหลักของเทรซมีอะไรบ้าง?

คุณสมบัติหลัก: (1) ความเป็นเชิงเส้น: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับเปลี่ยน: tr(A) = tr(A^T). (3) คุณสมบัติการเวียนรอบ: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคล้าย: tr(P^-1AP) = tr(A). (5) tr(A^TA) = ผลรวมกำลังสองของทุกองค์ประกอบ = ‖A‖²_F (นอร์มโฟรเบเนียสยกกำลังสอง)

ทำไมเทรซถึงมีความสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น?

เทรซเป็นอินแวเรียนต์ของการแปลงคล้าย — มันไม่เปลี่ยนไปตามการเปลี่ยนฐาน เมื่อพิจารณาร่วมกับดีเทอร์มิแนนต์ เทรซจะช่วยอธิบายลักษณะของการแปลงเชิงเส้น ในทางฟิสิกส์ เทรซปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัม (ค่าคาดหมาย) ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ริชชีสเกลาร์) และกลศาสตร์สถิติ (ฟังก์ชันพาร์ทิชัน) ในด้านแมชชีนเลิร์นนิง ใช้ในการทำ Regularization และวิธีการเคอร์เนล

เมทริกซ์ที่ไม่มีเทรซคืออะไร?

เมทริกซ์ที่ไม่มีเทรซจะมีค่า tr(A) = 0 หมายความว่าผลรวมขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ เมทริกซ์ประเภทนี้เป็นพื้นฐานของพีชคณิตลี sl(n) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทุกเมทริกซ์สามารถแยกส่วนได้เป็น A = (tr(A)/n)I + B โดยที่ B เป็นเมทริกซ์ที่ไม่มีเทรซ

คุณคำนวณเทรซของเมทริกซ์ได้อย่างไร?

วิธีคำนวณเทรซ: (1) ระบุองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก a₁₁, a₂₂, ..., a_nn — คือตำแหน่งที่ดัชนีแถวเท่ากับดัชนีหลัก (2) นำมาบวกกัน: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn ตัวอย่างเช่น สำหรับ [[1,2],[3,4]] เทรซคือ 1 + 4 = 5

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 21 ก.พ. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์

ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์

เทรซของเมทริกซ์คืออะไร?

เทรซและค่าลักษณะเฉพาะ

คุณสมบัติหลักของเทรซ

ความเป็นเชิงเส้น (Linearity)

คุณสมบัติการเวียนรอบ (Cyclic Property)

การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคล้าย (Similarity Invariance)

การไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับเปลี่ยน (Transpose Invariance)

ความสัมพันธ์กับนอร์มโฟรเบเนียส (Frobenius Norm)

การประยุกต์ใช้งานของเทรซ

ประเภทพิเศษของเมทริกซ์และเทรซของมัน

เทรซของเลขยกกำลังเมทริกซ์และเอกลักษณ์ของนิวตัน

คำถามที่พบบ่อย

เทรซของเมทริกซ์คืออะไร?

เทรซมีความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะอย่างไร?

คุณสมบัติหลักของเทรซมีอะไรบ้าง?

ทำไมเทรซถึงมีความสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น?

เมทริกซ์ที่ไม่มีเทรซคืออะไร?

คุณคำนวณเทรซของเมทริกซ์ได้อย่างไร?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องมือเด่น: