เครื่องคำนวณอันดับเมทริกซ์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณอันดับเมทริกซ์ เครื่องมือพีชคณิตเชิงเส้นที่ครอบคลุมสำหรับหาอันดับ (rank) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน อันดับของเมทริกซ์คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์คอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้พิจารณาว่าระบบสมการมีคำตอบหรือไม่ การแปลงร่างสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และข้อมูลสามารถถูกบีบอัดได้อย่างไร เครื่องคำนวณนี้แสดงการลดรูปแบบแถวทีละขั้นตอน การวิเคราะห์จุดหมุน การคำนวณปริภูมิว่าง แผนภูมิความร้อน และการตรวจสอบผ่านทฤษฎีบท Rank-Nullity

อันดับของเมทริกซ์ (Matrix Rank) คืออะไร?

อันดับ ของเมทริกซ์ A นิยามได้ว่าเป็น:

หรือในความหมายที่เทียบเท่ากัน อันดับคือ:

• จำนวนของ ตำแหน่งจุดหมุน (pivot positions) ในรูปแบบขั้นบันไดตามแถวของ A
• มิติของ ปริภูมิคอลัมน์ (ภาพฉาย) ของ A
• มิติของ ปริภูมิแถว ของ A
• จำนวนของ ค่าเอกฐานที่ไม่ใช่ศูนย์ (nonzero singular values) ของ A
• ขนาดของไมเนอร์ (minor) ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ใหญ่ที่สุด (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัส)

สำหรับเมทริกซ์ขนาด m×n อันดับจะเป็นไปตามเงื่อนไข \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\)

การกำจัดแบบเกาส์เซียนช่วยหาอันดับได้อย่างไร

การกำจัดแบบเกาส์เซียน (หรือการลดรูปแบบแถว) จะแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ใน รูปแบบขั้นบันไดตามแถว (Row Echelon Form - REF) โดยใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานสามอย่าง:

1. การสลับแถว: สลับแถวสองแถว (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. การคูณแถว: คูณแถวด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. การบวกแถว: บวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถวหนึ่ง (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

ในรูปแบบขั้นบันไดตามแถว:

• แถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านล่าง
• ตัวเลขตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ (จุดหมุน) ของแต่ละแถวจะอยู่ทางด้านขวาของจุดหมุนในแถวที่อยู่เหนือมัน
• อันดับจะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ (จำนวนจุดหมุน) ใน REF

เครื่องคำนวณนี้ใช้ การหาจุดหมุนบางส่วน (partial pivoting) โดยเลือกค่าสัมบูรณ์ที่มากที่สุดในแต่ละคอลัมน์เป็นจุดหมุน เพื่อเพิ่มความเสถียรในการคำนวณ

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและมิติของปริภูมิว่าง (Rank-Nullity Theorem)

โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ของ A ค่า nullity คือมิติของปริภูมิว่าง (kernel) ซึ่งก็คือเซตของคำตอบทั้งหมดของ Ax = 0 ทฤษฎีบทนี้หมายความว่าคอลัมน์ต่างๆ จะเป็นได้ทั้งคอลัมน์จุดหมุน (ส่งผลต่อ rank) หรือคอลัมน์อิสระ (ส่งผลต่อ nullity) และทุกคอลัมน์ต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง

อันดับและระบบสมการเชิงเส้น

อันดับของเมทริกซ์กำหนดความสามารถในการหาคำตอบของระบบเชิงเส้น Ax = b โดยตรง:

กรณีพิเศษและคุณสมบัติ

อันดับเต็ม (Full Rank)

เมทริกซ์จะมี อันดับเต็ม เมื่อ rank(A) = min(m, n):

• สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส n×n: อันดับเต็มหมายถึงหาอินเวอร์สได้ (det ≠ 0) และมีปริภูมิว่างที่เป็นศูนย์
• สำหรับเมทริกซ์ทรงสูง (m > n): อันดับเต็มตามคอลัมน์หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)
• สำหรับเมทริกซ์ทรงกว้าง (m < n): อันดับเต็มตามแถวหมายถึงฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)

เมทริกซ์ที่มีอันดับไม่เต็ม (Rank-Deficient)

หาก rank(A) < min(m, n) เมทริกซ์นั้นจะมี อันดับไม่เต็ม (หรือเป็นเมทริกซ์เอกฐานสำหรับเมทริกซ์จัตุรัส) สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อแถวหรือคอลัมน์มีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกัน โดยบางแถวสามารถเขียนในรูปผลรวมของแถวอื่นๆ ได้

เอกลักษณ์ที่สำคัญของอันดับ

• rank(A) = rank(A^T) — อันดับแถวเท่ากับอันดับคอลัมน์
• rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) — ขอบเขตอันดับของผลคูณ
• rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) — คุณสมบัติการบวกกึ่งเอกภาพ
• rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A)

อันดับเมทริกซ์ในสาขาต่างๆ

คำถามที่พบบ่อย

อันดับของเมทริกซ์คืออะไร?

อันดับของเมทริกซ์คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์แถว (หรือเวกเตอร์คอลัมน์) ที่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันในเมทริกซ์ ซึ่งจะบอกถึงมิติของปริภูมิคอลัมน์ (หรือปริภูมิแถว) สำหรับเมทริกซ์ขนาด m×n อันดับจะมีค่าไม่เกินค่าที่น้อยกว่าระหว่าง m และ n เมทริกซ์ที่มีอันดับเท่ากับ min(m, n) จะเรียกว่ามีอันดับเต็ม (full rank)

การคำนวณอันดับเมทริกซ์โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนทำอย่างไร?

การกำจัดแบบเกาส์เซียนจะแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดตามแถว (REF) โดยการดำเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน: การสลับแถว การคูณแถวด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และการบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถวหนึ่ง อันดับจะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ (หรือจำนวนตำแหน่งจุดหมุน) ใน REF วิธีนี้เป็นวิธีการทางอัลกอริทึมมาตรฐานที่สอนในวิชาพีชคณิตเชิงเส้น

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและมิติของปริภูมิว่าง (Rank-Nullity Theorem) คืออะไร?

ทฤษฎีบท Rank-Nullity ระบุว่าสำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m×n ใดๆ rank(A) + nullity(A) = n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ ค่า nullity คือมิติของปริภูมิว่าง (เซตของเวกเตอร์ x ทั้งหมดที่ทำให้ Ax = 0) ทฤษฎีบทพื้นฐานนี้เชื่อมโยงมิติของปริภูมิคอลัมน์และปริภูมิว่างเข้าด้วยกัน

เมื่อใดที่เมทริกซ์จะมีอันดับเต็ม?

เมทริกซ์จะมีอันดับเต็มเมื่ออันดับของมันเท่ากับ min(m, n) ซึ่งเป็นค่าที่น้อยกว่าระหว่างจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด n×n อันดับเต็มหมายถึง rank = n ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์นั้นสามารถหาอินเวอร์สได้ (nonsingular) และมีค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็มจะมีปริภูมิว่างที่เป็นเอกลักษณ์ (มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์) และคอลัมน์ของมันจะเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

อันดับตามแถวและอันดับตามคอลัมน์แตกต่างกันอย่างไร?

ทฤษฎีบทพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้นพิสูจน์ว่าอันดับตามแถว (มิติของปริภูมิแถว) จะเท่ากับอันดับตามคอลัมน์ (มิติของปริภูมิคอลัมน์) เสมอสำหรับเมทริกซ์ใดๆ ค่าที่เท่ากันนี้เรียกสั้นๆ ว่าอันดับ (rank) ของเมทริกซ์ การกำจัดแบบเกาส์เซียนจะเผยให้เห็นอันดับตามแถวโดยตรงจากการนับแถวที่มีจุดหมุน แต่จำนวนเดียวกันนั้นก็บอกถึงอันดับตามคอลัมน์ด้วย

อันดับของเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้นอย่างไร?

สำหรับระบบ Ax = b อันดับจะเป็นตัวกำหนดความสามารถในการหาคำตอบ: ถ้า rank(A) = rank([A|b]) ระบบจะมีความสอดคล้อง (มีคำตอบ) หากเพิ่มเติมว่า rank(A) = n (จำนวนตัวแปรไม่ทราบค่า) คำตอบจะมีเพียงหนึ่งเดียว แต่ถ้า rank(A) < n จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วนซึ่งกำหนดโดยตัวแปรอิสระจำนวน n - rank(A) ทฤษฎีบท Rouché-Capelli ได้กำหนดเงื่อนไขเหล่านี้ไว้อย่างเป็นทางการ

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• อันดับ (พีชคณิตเชิงเส้น) - Wikipedia
• การกำจัดแบบเกาส์เซียน - Wikipedia
• ทฤษฎีบท Rank-Nullity - Wikipedia