เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน

ประมาณค่าปริพันธ์จำกัดเขตด้วยกฎ Simpson 1/3, กฎ 3/8 และกฎผสม มีภาพจำลองพาราโบลาแบบโต้ตอบ การประมาณค่าความคลาดเคลื่อน การวิเคราะห์การลู่เข้า เปรียบเทียบวิธี และวิธีทำทีละขั้นตอน

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สันลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้:

ตัวอย่างการแสดงผลสด

∿ ฟังก์ชัน

f(x)

รองรับ: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e

📏 ขอบเขต & ช่วงย่อย

ขอบเขตล่าง (a)

ขอบเขตบน (b)

จำนวนช่วงย่อย (n)

หมายเหตุ: n จะถูกปรับให้เป็นเลขคู่ที่ใกล้ที่สุด

หมายเหตุ: n จะถูกปรับให้เป็นพหุคูณของ 3 ที่ใกล้ที่สุด

Embed เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน

เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สันเป็นเครื่องมืออินทิเกรตเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งจะหาค่าประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตโดยการสร้างเส้นโค้งพาราโบลา (กฎ 1/3) หรือเส้นโค้งกำลังสาม (กฎ 3/8) ผ่านจุดตัวอย่าง แตกต่างจากกฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่ใช้เส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด กฎของซิมป์สันจะจับความโค้งของฟังก์ชัน ทำให้ได้ความแม่นยำระดับ O(h⁴) ซึ่งทำให้เป็นหนึ่งในวิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในแคลคูลัส วิศวกรรมศาสตร์ และการคำนวณทางวิทยาศาสตร์

คุณสมบัติหลัก

∿

รองรับสองกฎ

เลือกได้ระหว่างกฎ 1/3 ของซิมป์สัน (การประมาณค่าในช่วงแบบพาราโบลา, n เป็นเลขคู่) และกฎ 3/8 (การประมาณค่าในช่วงแบบกำลังสาม, n หารด้วย 3 ลงตัว) ทั้งสองวิธีคำนวณพร้อมแสดงวิธีทำทีละขั้นตอนด้วย MathJax

📐

การแสดงภาพแบบโต้ตอบ

ดูส่วนของพาราโบลาที่วาดใต้เส้นโค้ง วางเมาส์เพื่อไฮไลต์แต่ละส่วนและดูพื้นที่ของส่วนนั้นๆ เล่นแอนิเมชันการลู่เข้าหรือใช้แถบเลื่อนเพื่อสำรวจค่า n ต่างๆ

⚖

การเปรียบเทียบวิธี

เปรียบเทียบผลลัพธ์จากกฎ 1/3, 3/8 ของซิมป์สัน, กฎสี่เหลี่ยมคางหมู และจุดกึ่งกลาง เคียงข้างกันโดยอัตโนมัติสำหรับฟังก์ชันและขอบเขตเดียวกัน เพื่อดูว่าวิธีใดให้ค่าประมาณที่ดีที่สุด

⚡

การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อน

คำนวณขอบเขตความคลาดเคลื่อนโดยอัตโนมัติโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สี่ สูตรความคลาดเคลื่อน $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ จะบอกคุณว่าค่าประมาณของคุณแม่นยำเพียงใด

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน

กรอกฟังก์ชันของคุณ — พิมพ์นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ f(x) เช่น x^2, sin(x), exp(-x^2) หรือการผสมผสานของฟังก์ชันที่รองรับ
กำหนดขอบเขตการอินทิเกรต — กรอกขอบเขตล่าง (a) และขอบเขตบน (b) และเลือกจำนวนช่วงย่อย (n)
เลือกกฎ — เลือกกฎ 1/3 ของซิมป์สัน (ต้องการ n เป็นเลขคู่ จะปรับอัตโนมัติหากเป็นเลขคี่) หรือกฎ 3/8 (ต้องการ n ที่หารด้วย 3 ลงตัว จะปรับอัตโนมัติ)
คลิก คำนวณ — เครื่องมือจะคำนวณค่าประมาณพร้อมแสดงวิธีทำทีละขั้นตอนที่แสดงผลด้วย MathJax
สำรวจผลลัพธ์ — โต้ตอบกับการแสดงภาพพาราโบลา ตรวจสอบพื้นที่แต่ละส่วน เปรียบเทียบวิธีต่างๆ และศึกษาการวิเคราะห์การลู่เข้า

คำอธิบายกฎ 1/3 ของซิมป์สัน

กฎ 1/3 ของซิมป์สันแบบรวม จะแบ่งช่วง [a, b] ออกเป็น n ช่วงย่อยที่เท่ากัน (n ต้องเป็นเลขคู่) และสร้างพาราโบลาผ่านจุดสามจุดที่เรียงต่อกันทุกๆ สามจุด:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

โดยที่ $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $ สัมประสิทธิ์จะเป็นไปตามรูปแบบ 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 ช่วงย่อยแต่ละคู่จะใช้พหุนามกำลังสองที่ผ่านจุดสามจุด ซึ่งจับความโค้งของฟังก์ชันได้ดีกว่าการประมาณค่าเชิงเส้นมาก

คำอธิบายกฎ 3/8 ของซิมป์สัน

กฎ 3/8 ใช้การประมาณค่าในช่วงแบบกำลังสามเหนือกลุ่มของช่วงย่อยสามช่วง (n ต้องหารด้วย 3 ลงตัว):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

สัมประสิทธิ์จะเป็นไปตามรูปแบบ 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 แม้ว่าทั้งสองกฎจะมีความแม่นยำระดับ O(h⁴) แต่กฎ 3/8 จะมีประโยชน์เมื่อ n ไม่เป็นเลขคู่

การเปรียบเทียบความคลาดเคลื่อน

วิธี	ระดับความคลาดเคลื่อน	ขอบเขตความคลาดเคลื่อน	ค่าที่แม่นยำสำหรับ
สี่เหลี่ยมคางหมู	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	ฟังก์ชันเชิงเส้น
ซิมป์สัน 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	ฟังก์ชันกำลังสามและต่ำกว่า
ซิมป์สัน 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	ฟังก์ชันกำลังสามและต่ำกว่า

การเพิ่ม n เป็นสองเท่าจะลดความคลาดเคลื่อนของกฎของซิมป์สันลงประมาณ 16 เท่า เมื่อเทียบกับเพียง 4 เท่าสำหรับกฎสี่เหลี่ยมคางหมู สิ่งนี้ทำให้กฎของซิมป์สันลู่เข้าหาค่าจริงเร็วกว่ามากสำหรับฟังก์ชันที่เรียบ

เมื่อใดควรใช้แต่ละกฎ

กฎ 1/3 ของซิมป์สัน — ดีที่สุดสำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ ใช้เมื่อ n เป็นเลขคู่ (หรือสามารถทำให้เป็นเลขคู่ได้) แม่นยำที่สุดต่อการหาค่าฟังก์ชันในบรรดาสูตร Newton-Cotes พื้นฐานทั้งสาม
กฎ 3/8 ของซิมป์สัน — ใช้เมื่อ n เป็นพหุคูณของ 3 แต่ไม่เป็นเลขคู่ นอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในสูตรแบบผสมเมื่อรวมกับกฎ 1/3 เพื่อจัดการกับจำนวนช่วงย่อยที่เป็นเลขคี่
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู — ควรเลือกใช้เมื่อข้อมูลมีระยะห่างไม่เท่ากัน n เป็นเลขคี่และมีค่าน้อย หรือความเรียบง่ายสำคัญกว่าความแม่นยำ นอกจากนี้ยังดีกว่าสำหรับฟังก์ชันที่มีความไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับสูง

ฟังก์ชันที่รองรับ

เครื่องคำนวณนี้รองรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย:

พหุนาม: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
ตรีโกณมิติ: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม: exp(x), ln(x), log(x)
ราก: sqrt(x)
ค่าคงที่: pi, e
การผสมผสาน: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

คำถามที่พบบ่อย

กฎของซิมป์สันคืออะไร?

กฎของซิมป์สันเป็นวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่หาค่าประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตโดยการสร้างพาราโบลา (หรือเส้นโค้งกำลังสาม) ผ่านจุดตัวอย่าง มีความแม่นยำสูงกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมูอย่างมากสำหรับฟังก์ชันที่เรียบ โดยมีความคลาดเคลื่อนในระดับ O(h⁴) เมื่อเทียบกับ O(h²)

กฎ 1/3 และ 3/8 ของซิมป์สันแตกต่างกันอย่างไร?

กฎ 1/3 ของซิมป์สันใช้การประมาณค่าในช่วงแบบพาราโบลาเหนือช่วงย่อยเป็นคู่ และต้องการจำนวนช่วงย่อยเป็นเลขคู่ ส่วนกฎ 3/8 ของซิมป์สันใช้การประมาณค่าในช่วงแบบกำลังสามเหนือช่วงย่อยชุดละสามช่วง และต้องการ n ที่หารด้วย 3 ลงตัว โดยทั่วไปกฎ 1/3 จะแม่นยำกว่าสำหรับ n ที่เท่ากัน แต่กฎ 3/8 มีประโยชน์เมื่อ n ไม่เป็นเลขคู่

ทำไมกฎ 1/3 ของซิมป์สันถึงต้องการจำนวนช่วงย่อยเป็นเลขคู่?

กฎ 1/3 ของซิมป์สันทำงานโดยการสร้างพาราโบลาผ่านจุดสามจุดที่เรียงต่อกัน (ครั้งละสองช่วงย่อย) เนื่องจากส่วนของพาราโบลาแต่ละส่วนครอบคลุม 2 ช่วงย่อยพอดี จำนวนช่วงย่อยทั้งหมดจึงต้องเป็นเลขคู่เพื่อให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมด

กฎของซิมป์สันแม่นยำแค่ไหนเมื่อเทียบกับกฎสี่เหลี่ยมคางหมู?

กฎ 1/3 ของซิมป์สันมีความคลาดเคลื่อนระดับ O(h⁴) ในขณะที่กฎสี่เหลี่ยมคางหมูมี O(h²) ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มจำนวนช่วงย่อยเป็นสองเท่าจะลดความคลาดเคลื่อนของซิมป์สันลงประมาณ 16 เท่า เทียบกับเพียง 4 เท่าสำหรับกฎสี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับฟังก์ชันที่เรียบ กฎของซิมป์สันจะแม่นยำกว่าอย่างเห็นได้ชัด

ฉันสามารถกรอกฟังก์ชันอะไรลงในเครื่องคำนวณได้บ้าง?

คุณสามารถกรอกพหุนามเช่น x^2 หรือ x^3-2x+1, ฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่น sin(x) และ cos(x), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเช่น exp(x) และ ln(x), รากเช่น sqrt(x) และการผสมผสานต่างๆ รองรับค่าคงที่ pi และ e ด้วย ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลังและสัญกรณ์ฟังก์ชันมาตรฐาน

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-05

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.