Cos'è un integrale nel calcolo?

Un integrale è un concetto fondamentale nel calcolo che rappresenta l'accumulo di quantità, come aree sotto curve o variazione totale. L'integrale indefinito (antiderivata) trova una funzione la cui derivata è uguale alla funzione originale. L'integrale definito calcola l'area con segno tra una funzione e l'asse x su un intervallo specifico. Gli integrali sono l'operazione inversa delle derivate.

Qual è la differenza tra integrali definiti e indefiniti?

Un integrale indefinito trova l'antiderivata generale di una funzione e include una costante di integrazione C. Si scrive come l'integrale di f(x) dx = F(x) + C. Un integrale definito valuta l'antiderivata a limiti superiori e inferiori specifici, dando un valore numerico che rappresenta l'area con segno. L'integrale definito da a a b di f(x) dx è uguale a F(b) meno F(a).

Cos'è il Teorema Fondamentale del Calcolo?

Il Teorema Fondamentale del Calcolo collega differenziazione e integrazione. La Parte 1 afferma che se F(x) è l'antiderivata di f(x), allora la derivata dell'integrale da a a x di f(t)dt è uguale a f(x). La Parte 2 afferma che l'integrale definito da a a b di f(x)dx è uguale a F(b) meno F(a), dove F è qualsiasi antiderivata di f. Questo teorema ci permette di valutare integrali definiti usando antiderivate.

Quali sono le tecniche comuni di integrazione?

Le tecniche comuni di integrazione includono: Regola della Potenza per termini polinomiali, Sostituzione (u-sostituzione) per funzioni composte, Integrazione per Parti per prodotti di funzioni, Frazioni Parziali per funzioni razionali, Sostituzione Trigonometrica per espressioni con radici quadrate di quadratiche, e Identità Trigonometriche per semplificare integrandi trigonometrici. La scelta della tecnica dipende dalla forma dell'integrando.

Cosa rappresenta l'area sotto una curva?

L'integrale definito rappresenta l'area con segno tra una funzione e l'asse x. Le aree sopra l'asse x sono contate come positive, mentre le aree sotto sono contate come negative. Questo concetto ha molte applicazioni: in fisica, l'area sotto un grafico velocità-tempo dà lo spostamento; in economia, l'area sotto una curva di costo marginale dà il costo totale; in probabilità, l'area sotto una funzione di densità di probabilità dà probabilità.

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