Calcolatore di formula quadratica
Risolvi equazioni di secondo grado utilizzando la formula quadratica con soluzioni passo-passo, analisi del discriminante, conversione in forma del vertice e visualizzazione interattiva della parabola.
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Calcolatore di formula quadratica
Benvenuti nel Calcolatore di formula quadratica, uno strumento matematico completo che risolve equazioni di secondo grado nella forma ax² + bx + c = 0. Questo calcolatore fornisce soluzioni passo-passo, analisi del discriminante, conversione nella forma del vertice e una visualizzazione interattiva della parabola per aiutarvi a comprendere l'intero processo di risoluzione.
Cos'è un'equazione di secondo grado?
Un'equazione di secondo grado (o quadratica) è un'equazione polinomiale di secondo grado in un'unica variabile x, con la forma generale:
Dove:
- a è il coefficiente di x² (deve essere diverso da zero)
- b è il coefficiente di x
- c è il termine noto
- x è l'incognita per la quale risolviamo
La Formula Quadratica
La formula quadratica fornisce un metodo diretto per trovare le soluzioni (radici) di qualsiasi equazione di secondo grado:
Questa formula funziona sempre, indipendentemente dal fatto che le radici siano numeri reali o complessi. Il simbolo ± indica che in genere ci sono due soluzioni: una ottenuta con l'addizione e una con la sottrazione.
Comprendere il Discriminante
Il discriminante (Δ = b² - 4ac) è l'espressione sotto la radice quadrata nella formula quadratica. Esso determina la natura delle radici:
| Discriminante (Δ) | Numero di Radici | Tipo di Radici | Intersezione Parabola |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | Due | Radici reali distinte | Incrocia l'asse x in due punti |
| Δ = 0 | Una | Radice doppia (coincidenti) | Tocca l'asse x in un punto |
| Δ < 0 | Due | Radici complesse coniugate | Non interseca l'asse x |
Come usare questo calcolatore
- Inserisci i coefficienti: Inserisci i valori di a, b e c della tua equazione quadratica. Puoi usare i pulsanti degli esempi per un test rapido.
- Imposta la precisione decimale: Scegli il numero di cifre decimali (2-15) per i tuoi risultati.
- Clicca su Risolvi: Premi il pulsante per calcolare le radici e visualizzare la soluzione completa.
- Rivedi i risultati: Esamina le radici, l'analisi del discriminante, la forma del vertice e la soluzione passo-passo.
- Studia il grafico: La visualizzazione interattiva della parabola mostra le radici, il vertice e l'asse di simmetria.
Comprendere la Parabola
Il grafico di una funzione quadratica y = ax² + bx + c è una parabola. Le caratteristiche principali includono:
Vertice
Il vertice è il punto più alto o più basso della parabola, situato a:
Asse di Simmetria
La parabola è simmetrica rispetto a una linea verticale chiamata asse di simmetria: x = -b/(2a)
Direzione dell'apertura
- Se a > 0, la parabola si apre verso l'alto (il vertice è un punto di minimo)
- Se a < 0, la parabola si apre verso il basso (il vertice è un punto di massimo)
Forme delle Equazioni di Secondo Grado
Forma Standard
ax² + bx + c = 0 — La forma più comune, utile per applicare la formula quadratica.
Forma del Vertice
a(x - h)² + k = 0 — Dove (h, k) è il vertice. Questa forma mostra chiaramente la posizione del vertice e le trasformazioni rispetto a y = x².
Forma Fattorizzata
a(x - r₁)(x - r₂) = 0 — Dove r₁ e r₂ sono le radici. Questa forma mostra chiaramente le intersezioni con l'asse x.
Metodo di Risoluzione Passo-Passo
- Identifica i coefficienti: Scrivi l'equazione in forma standard e identifica a, b e c.
- Calcola il discriminante: Calcola Δ = b² - 4ac per determinare la natura delle radici.
- Applica la formula: Sostituisci i valori in x = (-b ± √Δ) / (2a).
- Semplifica: Calcola entrambe le radici usando + e - nella formula.
- Verifica: Sostituisci le radici nell'equazione originale per controllare.
Radici Complesse
Quando il discriminante è negativo, le radici sono numeri complessi. Si presentano in coppie coniugate:
Dove i = √(-1) è l'unità immaginaria. Le radici complesse indicano che la parabola non attraversa l'asse x.
Applicazioni nel Mondo Reale
- Fisica: Moto dei proiettili, dove l'altezza rispetto al tempo segue un percorso parabolico
- Ingegneria: Progettazione di strutture paraboliche come ponti e parabole satellitari
- Economia: Problemi di massimizzazione del profitto e minimizzazione dei costi
- Geometria: Calcolo di dimensioni e aree che coinvolgono relazioni quadratiche
- Finanza: Calcoli di interesse composto e crescita degli investimenti
Domande Frequenti
Cos'è la formula quadratica?
La formula quadratica è x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Fornisce le soluzioni (radici) per qualsiasi equazione di secondo grado nella forma ax² + bx + c = 0, dove a ≠ 0. La formula funziona per tutte le equazioni quadratiche, che le radici siano reali o complesse.
Cos'è il discriminante e cosa ci dice?
Il discriminante è Δ = b² - 4ac. Determina la natura delle radici: se Δ > 0, ci sono due radici reali distinte; se Δ = 0, c'è esattamente una radice reale (radice doppia); se Δ < 0, ci sono due radici complesse coniugate.
Come trovo il vertice di una parabola?
Il vertice di una parabola y = ax² + bx + c si trova nel punto (h, k) dove h = -b/(2a) e k = c - b²/(4a). Il vertice rappresenta il punto di minimo se a > 0 o il punto di massimo se a < 0.
Qual è la forma del vertice di un'equazione quadratica?
La forma del vertice è y = a(x - h)² + k, dove (h, k) è il vertice della parabola. Questa forma rende facile identificare il vertice e capire come la parabola sia trasformata rispetto alla parabola di base y = x².
Cosa sono le radici complesse e quando si verificano?
Le radici complesse si verificano quando il discriminante è negativo. Si presentano in coppie coniugate a + bi e a - bi, dove i = √(-1). Geometricamente, ciò significa che la parabola non interseca l'asse x.
Qual è l'asse di simmetria di una parabola?
L'asse di simmetria è una linea verticale x = -b/(2a) che passa per il vertice, dividendo la parabola in due metà speculari.
Risorse Aggiuntive
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dal team miniwebtool. Aggiornato: 23 gen 2026
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