Calculadora de Decomposição de Cholesky

Calculadora de Decomposição de Cholesky

A Calculadora de Decomposição de Cholesky fatora uma matriz simétrica definida positiva A no produto de uma matriz triangular inferior L e sua transposta Lᵀ, de modo que A = LLᵀ. Esta fatoração é fundamental na álgebra linear numérica, oferecendo aproximadamente o dobro da eficiência da decomposição LU geral ao explorar a simetria e a positividade definida da matriz de entrada. A calculadora fornece derivações animadas passo a passo, destaque interativo de células e verificação automática de que LLᵀ reconstrói A.

Como funciona a decomposição de Cholesky

Dada uma matriz simétrica definida positiva A de ordem n×n, o algoritmo calcula L coluna por coluna. Para cada coluna j:

Elemento diagonal:

$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$

Elementos fora da diagonal (para i > j):

$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$

O algoritmo prossegue da esquerda para a direita através das colunas. Cada elemento diagonal envolve uma raiz quadrada, que é garantida como real e positiva quando A é definida positiva. Se um valor negativo aparecer sob a raiz quadrada, a matriz não é definida positiva.

Condições para a decomposição de Cholesky

Propriedades principais

Como usar a Calculadora de Decomposição de Cholesky

1. Selecione o tamanho da matriz — Escolha de 2×2 até 6×6. A decomposição de Cholesky requer uma matriz quadrada.
2. Insira os valores — Preencha as células da matriz. A calculadora espelha automaticamente as entradas através da diagonal para garantir a simetria (editar A[i,j] define automaticamente A[j,i]).
3. Clique em Decompor — Pressione o botão "Decompor A = LLᵀ" para calcular a fatoração.
4. Explore o resultado — Revise a equação codificada por cores A = L × Lᵀ. Clique em qualquer célula em L para ver sua fórmula de derivação. Use "Tocar Tudo" para percorrer automaticamente cada elemento.
5. Verifique — A calculadora multiplica L × Lᵀ de volta e relata o erro máximo, confirmando que a decomposição está correta.

Aplicações no mundo real

Cholesky vs Outras Decomposições

Perguntas Frequentes

O que é a decomposição de Cholesky?

A decomposição de Cholesky (nomeada em homenagem a André-Louis Cholesky) fatora uma matriz simétrica definida positiva A em A = LLᵀ, onde L é uma matriz triangular inferior com entradas diagonais positivas. É uma das fatorações de matriz mais eficientes e numericamente estáveis disponíveis.

Quando a decomposição de Cholesky pode ser aplicada?

A matriz deve ser simétrica (A = Aᵀ) e definida positiva (todos os autovalores estritamente positivos, ou equivalentemente, xᵀAx > 0 para cada vetor x não nulo). Exemplos comuns incluem matrizes de covariância, matrizes de correlação, matrizes de Gram (XᵀX para X de posto completo) e matrizes de rigidez em engenharia estrutural.

E se minha matriz não for definida positiva?

Se a matriz não for definida positiva, você encontrará um valor negativo sob uma raiz quadrada durante a decomposição, o que não é um número real. A calculadora reportará um erro indicando exatamente qual etapa diagonal falhou. Você pode querer verificar se há erros de simetria em sua matriz ou considerar a decomposição LDLᵀ para matrizes semidefinidas positivas.

Como a decomposição de Cholesky é usada para resolver sistemas lineares?

Para resolver Ax = b, primeiro decomponha A = LLᵀ. Em seguida, resolva Ly = b por substituição direta (já que L é triangular inferior) e depois resolva Lᵀx = y por substituição reversa. Isso é cerca de duas vezes mais rápido do que resolver via decomposição LU porque L e Lᵀ compartilham os mesmos dados.

Qual é a relação entre Cholesky e o determinante?

Como A = LLᵀ, temos det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)². E como L é triangular, det(L) é simplesmente o produto de suas entradas diagonais. Isso fornece uma maneira eficiente de calcular o determinante de uma matriz definida positiva.

A decomposição de Cholesky pode ser aplicada a matrizes complexas?

Sim, para matrizes complexas a condição é que A deve ser Hermitiana definida positiva (A = A*, onde A* é a transposta conjugada). A decomposição torna-se A = LLᵀ onde Lᵀ é substituída por L* (a transposta conjugada de L). Esta calculadora lida com matrizes de valores reais.