Giải tích

Quan sát hành vi cục bộ của phương trình vi phân thường trước khi giải giải tích bằng công cụ vẽ trường hướng/trường độ dốc của MiniWebtool. Nhập y′ = f(x, y) để vẽ các đoạn tiếp tuyến, rồi thêm điều kiện ban đầu để tạo các đường nghiệm tích phân số.

Công cụ giải hệ phương trình vi phân thường của MiniWebtool phân tích các phương trình vi phân ghép hoặc hệ xác định bằng ma trận. Khảo sát phép tính giá trị riêng, phân loại điểm cân bằng và chân dung pha quỹ đạo để hiểu hành vi cục bộ của hệ.

Công cụ giải phương trình vi phân thường Bernoulli của MiniWebtool xử lý phương trình dạng Bernoulli với các biểu thức hệ số P(x), Q(x) và số mũ n. Có thể nhập giá trị ban đầu tùy chọn để xác định nghiệm riêng và xem quá trình giải.

Liên hệ các đại lượng đang thay đổi trong một bài toán giải tích quen thuộc bằng công cụ giải tốc độ thay đổi liên quan của MiniWebtool. Chọn tình huống như thang trượt hoặc hình nón đang được đổ đầy, nhập giá trị và tốc độ đã biết, rồi theo dõi lời giải dựa trên đạo hàm.

Công cụ Tính bán kính hội tụ của MiniWebtool xác định bán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa bằng phép thử tỷ số hoặc phép thử căn, kèm lời giải từng bước, hình dung sự hội tụ và phân tích các đầu mút.

Công cụ tính biến đổi Fourier nhanh FFT của MiniWebtool chuyển mẫu thực hoặc phức thành các bin tần số. Tần số lấy mẫu, cửa sổ hóa và tùy chọn đệm định hình độ lớn, pha, nhãn tần số và tóm tắt đỉnh để diễn giải phổ tín hiệu.

Chuyển hàm miền thời gian sang miền Laplace bằng công cụ biến đổi Laplace của MiniWebtool. Kết quả ký hiệu đi kèm các bước tính minh họa và hình trực quan hàm gốc cùng biểu thức đã biến đổi.

Tính biến đổi Laplace ngược của F(s) để tìm f(t) bằng công cụ Tính biến đổi Laplace ngược của MiniWebtool. Theo dõi lời giải và hình minh họa từng bước để hiểu cách chuyển từ miền tần số sang miền thời gian.

Tính biến đổi Z một phía và biến đổi Z ngược nhân quả bằng công cụ Tính biến đổi Z của MiniWebtool. Nhập công thức dãy số, danh sách mẫu hữu hạn hoặc hàm hữu tỷ X(z) để nhận biến đổi, miền hội tụ (ROC), các cực và điểm không, bảng mẫu cùng phân tích trực quan trên mặt phẳng z.

Khai triển một hàm quanh tâm đã chọn bằng công cụ tính chuỗi lũy thừa của MiniWebtool. Các hệ số Taylor hoặc Maclaurin, giới hạn hội tụ và phân tích điểm đầu mút đi kèm hình ảnh tổng riêng phần, cho thấy xấp xỉ bám sát hàm gốc ở đâu.

Xấp xỉ hàm gần số 0 bằng chuỗi Maclaurin qua công cụ tính chuỗi Maclaurin của MiniWebtool. Chọn bậc khai triển để xem các số hạng đa thức, thông tin hội tụ và ước tính số dư; đồ thị tổng riêng cho thấy đặc tính xấp xỉ.

Xấp xỉ hàm số gần một điểm bằng công cụ tính chuỗi Taylor của MiniWebtool. Chọn tâm khai triển và bậc để xem các hạng tử dựa trên đạo hàm, rồi so sánh đa thức xấp xỉ với đồ thị hàm.

Công cụ tính xoáy của MiniWebtool lấy đạo hàm trường vectơ 2D hoặc 3D để tìm ∇×F. Nhập các thành phần và điểm tính tùy chọn để xem các bước dạng ký hiệu, kèm hình trực quan dòng chảy xoáy cho trường 2D.

Khám phá đường cong được xoay bằng công cụ tính mặt tròn xoay của MiniWebtool. Cung cấp f(x), các giới hạn và trục quay để ước tính diện tích bề mặt thu được, kèm các bước công thức và hình minh họa 3D.

Khảo sát các nguồn và điểm hút bằng công cụ tính phân kỳ của MiniWebtool. Các thành phần của trường vectơ 2D hoặc 3D cho ra ∇·F dạng ký hiệu và tùy chọn giá trị tại điểm, kèm các bước đạo hàm và hình minh họa dòng chảy 2D.

Khảo sát hành vi hàm số gần một điểm bằng công cụ tính giới hạn của MiniWebtool. Các phép tính được hỗ trợ bao gồm giới hạn một phía và dạng bất định, kèm các bước biến đổi đại số hoặc áp dụng quy tắc L’Hôpital khi thích hợp.

Tìm hướng tăng nhanh nhất từ biểu thức nhiều biến. Công cụ tính gradient nhiều biến của MiniWebtool tính các đạo hàm riêng dạng ký hiệu và vectơ gradient, có thể tính tại một điểm và vẽ trường gradient cho hàm hai biến.

Phân tích hàm tuần hoàn thành các họa âm bằng công cụ tính hệ số chuỗi Fourier của MiniWebtool. Hàm số, cận chu kỳ và số hạng xác định các hệ số sin và cos để khảo sát phép xấp xỉ chuỗi.

Khám phá hành vi chuỗi vô hạn bằng công cụ kiểm tra hội tụ chuỗi của MiniWebtool. Chọn chuỗi và tham số để so sánh các phép thử hội tụ áp dụng được, theo dõi phép tính và khảo sát đồ thị tổng riêng phần.

Công cụ tính phương pháp Euler của MiniWebtool ước tính y′ = f(x, y) từ điều kiện ban đầu. Chọn kích thước bước và số lần lặp để xem bảng cùng đường đi trên trường độ dốc; có tùy chọn so sánh kích thước bước và phân tích sai số so với nghiệm chính xác.

Theo dõi các xấp xỉ tiếp tuyến tiến dần đến nghiệm bằng công cụ tính phương pháp Newton của MiniWebtool. Nhập hàm và giá trị đoán ban đầu để khảo sát từng vòng lặp Newton-Raphson, đường đi trên đồ thị và hành vi hội tụ.

Công cụ tính phương pháp Runge-Kutta bậc bốn (RK4) của MiniWebtool xấp xỉ phương trình vi phân bài toán giá trị ban đầu bằng các bước Runge-Kutta bậc bốn. Chỉ định phương trình, điểm bắt đầu, kích thước bước và điểm cuối để xem các giá trị k1–k4 cùng bảng nghiệm tối đa 1.000 bước.

Ước tính tích phân bằng Quy tắc hình thang của MiniWebtool từ hàm số có cận và các khoảng con, hoặc từ dữ liệu x và y. Xem các bước giải cùng diện tích của từng hình thang.

Tính giới hạn dạng 0/0 hoặc vô cực chia vô cực đủ điều kiện bằng công cụ quy tắc L’Hôpital của MiniWebtool. Nhập tử số, mẫu số và điểm tiến đến để theo dõi các bước đạo hàm dùng để xử lý dạng bất định.

Xấp xỉ tích phân bằng công cụ tính quy tắc Simpson của MiniWebtool. Chọn quy tắc 1/3 hoặc 3/8 cùng số khoảng chia, rồi khảo sát hình minh họa parabol, các bước tính và ước tính sai số hoặc hội tụ.

Công cụ tính thể tích khối tròn xoay của MiniWebtool mô hình hóa khối tạo thành khi quay các đường cong. Chọn phương pháp đĩa, vành khăn hoặc vỏ trụ, cung cấp hàm và giới hạn, rồi khảo sát thiết lập tích phân qua hình minh họa 3D.

Dành cho sinh viên giải tích và người làm chuyên môn, công cụ Tính tích phân của MiniWebtool tính tích phân xác định và bất định, kèm lời giải chi tiết từng bước, hình ảnh hàm số tương tác và phần giải thích toàn diện.

Khảo sát tích phân lặp bằng công cụ tính tích phân bội ba của MiniWebtool. Nhập hàm, ba biến tích phân và giới hạn tùy chọn để nhận lời giải ký hiệu cho tích phân bội ba xác định hoặc bất định, kèm bối cảnh không gian ba chiều.

Tính tích phân lặp bằng công cụ tính tích phân kép của MiniWebtool. Nhập hàm, biến tích phân và cận để theo dõi hai lần lấy tích phân, kèm các bước minh họa và hình trực quan 3D.

Công cụ tính tích phân mặt của MiniWebtool tính tích phân mặt vô hướng và thông lượng của trường vectơ trên các mặt tham số. Chọn cấu hình mẫu hoặc nhập tham số hóa, trường và giới hạn, rồi khảo sát vectơ pháp tuyến cùng hình ảnh mặt ba chiều.

Nhập hàm số và khoảng cần tính vào công cụ Tích phân số của MiniWebtool để so sánh kết quả Gauss–Legendre, Romberg và Simpson thích nghi, kèm sai số và số lần đánh giá hàm.

Cận vô hạn và điểm kỳ dị đòi hỏi xét giới hạn thay vì thế giá trị thông thường tại điểm cuối. Công cụ tính tích phân suy rộng của MiniWebtool giải các trường hợp loại I và II, hiển thị kết luận hội tụ cùng các bước thực hiện.

Tính tích phân trường vô hướng hoặc vectơ dọc theo đường đi tham số bằng công cụ tính tích phân đường của MiniWebtool. Hỗ trợ đường cong hai và ba chiều, kèm lời giải ký hiệu, độ dài cung và hình trực quan đường đi đã chọn.

Công cụ tính phép tích chập của MiniWebtool kết hợp hai dãy hoặc hàm bằng phép tích chập rời rạc hay liên tục. Nhập tín hiệu và chỉ số bắt đầu liên quan để xem kết quả cùng các bước minh họa và hình trực quan.

Nhập hàm f(x) và hai đầu mút khoảng [a, b] vào công cụ Tính tốc độ biến thiên trung bình của MiniWebtool để tính hệ số góc đường cát tuyến, với công thức MathJax từng bước và đồ thị trực quan.

Tính tốc độ biến thiên tức thời của bất kỳ hàm nào tại một điểm theo định nghĩa giới hạn bằng công cụ Tính tốc độ biến thiên tức thời của MiniWebtool. Nhận lời giải từng bước với công thức MathJax, đồ thị đường tiếp tuyến tương tác và bảng hội tụ khi h tiến về không.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bất kỳ hàm số nào bằng kiểm tra đạo hàm bậc nhất và bậc hai với công cụ Tối ưu hóa trong giải tích của MiniWebtool. Xem các điểm tới hạn, khoảng tăng giảm, phân tích độ cong, điểm uốn và đồ thị tương tác có lời giải từng bước.

Khảo sát chuỗi vô hạn có hội tụ hay không và tổng bằng bao nhiêu. Công cụ tính tổng chuỗi vô hạn của MiniWebtool xử lý các dạng chuỗi được hỗ trợ, giải thích lập luận hội tụ và trực quan hóa tổng riêng tiến gần đến kết quả.

So sánh các phương pháp tích phân số bằng công cụ tính tổng Riemann của MiniWebtool. Hàm số, khoảng và số khoảng chia tạo ra xấp xỉ trái, phải, trung điểm, hình thang hoặc Simpson, kèm hình minh họa và các bước cho thấy cách lập ước tính.

Công cụ tính Wronskian của MiniWebtool lập ma trận đạo hàm từ các hàm đã cung cấp và tính định thức. Theo dõi phép khai triển và phép tính tại điểm tùy chọn khi khảo sát tính độc lập tuyến tính; diễn giải kết quả bằng 0 trong phạm vi giả định của các hàm.

Công cụ tính đạo hàm của MiniWebtool lấy đạo hàm hàm tường minh, biểu thức nhiều biến hoặc phương trình ẩn. Chọn chế độ, biến và bậc phù hợp để theo dõi các bước ký hiệu; chế độ đạo hàm theo hướng bổ sung điểm và hướng để phân tích gradient.

Với phương trình dạng F(x,y)=0, công cụ tính đạo hàm ẩn của MiniWebtool lấy đạo hàm mà không cần cô lập y trước. Theo dõi các bước quy tắc dây chuyền và tính các đạo hàm bậc cao được hỗ trợ đến bậc năm.

Tính đạo hàm của hàm một biến bằng công cụ tính đạo hàm một biến của MiniWebtool. Chọn cấp đạo hàm hoặc điểm cần tính, rồi xem các quy tắc được áp dụng, các bước giải và đồ thị.

Tính đạo hàm riêng của một biểu thức nhiều biến trong công cụ tính đạo hàm riêng của MiniWebtool, đồng thời giữ các biến còn lại không đổi. Chỉ định biến và cấp đạo hàm, kể cả đạo hàm hỗn hợp, để xem kết quả cùng các quy tắc vi phân được áp dụng.

Công cụ tính đạo hàm theo hướng của MiniWebtool đo mức thay đổi của hàm theo hướng chỉ định tại một điểm. Công cụ tính gradient, chuẩn hóa vectơ hướng và hiển thị tích vô hướng cùng các bước minh họa và bối cảnh 3D.

Khảo sát độ cong gắt của đường cong bằng công cụ tính độ cong của MiniWebtool. Hàm tường minh hoặc đường cong tham số cùng điểm đã chọn cho ra độ cong, bán kính cong, các bước đạo hàm và hình minh họa đường tròn tiếp xúc.

Công cụ giải phương trình vi phân thường bậc hai của MiniWebtool xử lý phương trình tuyến tính được xác định bởi hệ số, biểu thức lực cưỡng bức và giá trị ban đầu. Xem nghiệm dạng đóng, phân loại tắt dần và diễn biến mặt phẳng pha trong khoảng x đã chọn.

Công cụ giải phương trình vi phân thường bậc nhất của MiniWebtool khảo sát dy/dx = f(x, y) và phân loại các dạng phương trình có thể nhận diện. Điều kiện ban đầu hỗ trợ tạo đường nghiệm số; khi có thể, công cụ đưa ra nghiệm ký hiệu cùng trường độ dốc để diễn giải hình học.