เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบแบบ LU ได้หรือไม่?

ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวที่จะแยกตัวประกอบ LU ได้โดยไม่มีการสลับแถว เมทริกซ์จะมี LU factorization ก็ต่อเมื่อไมเนอร์หลักที่นำหน้าทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ด้วยการเลือกหลักบางส่วน (PA = LU) ทุกเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเอกภพ (nonsingular) จะสามารถแยกตัวประกอบได้ ส่วนเมทริกซ์เอกภพอาจล้มเหลวหากพบตัวหลักที่เป็นศูนย์

เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์

Q: ทำไมต้องมีการเลือกหลักบางส่วนในการแยกตัวประกอบ LU?

การเลือกหลักบางส่วน (Partial pivoting) จะสลับแถวเพื่อให้ค่าสัมบูรณ์ที่มากที่สุดอยู่ในตำแหน่งตัวหลัก (pivot) สิ่งนี้ช่วยป้องกันการหารด้วยศูนย์เมื่อตัวหลักเป็นศูนย์ และลดข้อผิดพลาดทางตัวเลขที่เกิดจากการหารด้วยตัวเลขที่มีค่าน้อยมาก ด้วยการเลือกหลักบางส่วน การแยกตัวประกอบจะกลายเป็น PA = LU โดยที่ P คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนที่บันทึกการสลับแถว

Q: การแยกตัวประกอบ LU มีประโยชน์อย่างไร?

การแยกตัวประกอบ LU ใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น (Ax = b) อย่างมีประสิทธิภาพ, คำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์, หาเมทริกซ์ผกผัน และวิเคราะห์ความเสถียรทางตัวเลข มีประสิทธิภาพสูงเมื่อต้องแก้ระบบสมการหลายชุดที่มีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ตัวเดียวกันแต่มีด้านขวาต่างกัน เพราะการแยกตัวประกอบทำเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

Q: จะแก้สมการ Ax = b โดยใช้การแยกตัวประกอบ LU ได้อย่างไร?

หลังจากคำนวณ PA = LU แล้ว การแก้ Ax = b จะทำได้โดย: ขั้นแรกแก้ Ly = Pb โดยใช้การแทนที่ไปข้างหน้า (ทำได้ง่ายเพราะ L เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง) จากนั้นแก้ Ux = y โดยใช้การแทนที่ย้อนกลับ (ทำได้ง่ายเพราะ U เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน) กระบวนการสองขั้นตอนนี้เร็วกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนมากเมื่อต้องแก้ระบบสมการหลายชุด

คำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ ด้วยการสลับแถวบางส่วน (partial pivoting) รับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (L), เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (U) และเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน (P) พร้อมขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์และการตรวจสอบความถูกต้อง

เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์

ตัวอย่างด่วน — คลิกเพื่อใส่ข้อมูล:

3×3 มาตรฐาน 3×3 ไม่ต้องสลับแถว 2×2 แบบสลับ 4×4 ไตรไดอะโกนัล

ป้อนเมทริกซ์จัตุรัส

รูปแบบ: 2 1 1; 4 3 3; 8 7 9 (เครื่องหมายอัฒภาค) หรือหนึ่งแถวต่อบรรทัด รองรับรูปแบบ [1,2,3] หรือ (1 2 3) เมทริกซ์ต้องเป็นรูปจัตุรัส (n×n)

ความแม่นยำทศนิยม

Embed เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์ เครื่องมือพีชคณิตเชิงเส้นที่ครอบคลุมซึ่งจะแยกเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (L) และเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (U) โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนพร้อมการเลือกหลักบางส่วน รับรายละเอียดการกำจัดทีละขั้นตอน แอนิเมชันการแยกตัวประกอบแบบโต้ตอบ และการตรวจสอบความถูกต้องโดยอัตโนมัติ เหมาะสำหรับนักศึกษา วิศวกร และใครก็ตามที่ทำงานกับระบบสมการเชิงเส้น

การแยกตัวประกอบ LU คืออะไร?

การแยกตัวประกอบ LU (เรียกอีกอย่างว่า LU factorization) แสดงเมทริกซ์จัตุรัส $A$ ในรูปแบบผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมสองตัว:

การแยกตัวประกอบ LU

$$A = LU$$

โดยที่:

L (เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง): มีค่า 1 บนเส้นทแยงมุม และมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะด้านล่างเส้นทแยงมุม ค่าเหล่านี้คือ ตัวคูณ ที่ใช้ระหว่างการกำจัดแบบเกาส์เซียน
U (เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน): มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะบนและเหนือเส้นทแยงมุม นี่คือรูปแบบเอเชลอนแถวของเมทริกซ์

เมื่อมีการใช้การเลือกหลักบางส่วน (เพื่อหลีกเลี่ยงตัวหลักที่เป็นศูนย์และปรับปรุงความเสถียรทางตัวเลข) การแยกตัวประกอบจะกลายเป็น:

การแยกตัวประกอบ LU พร้อมการเลือกหลักบางส่วน

$$PA = LU$$

โดยที่ $P$ คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนที่บันทึกการสลับแถวที่เกิดขึ้นระหว่างการกำจัด

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อนเมทริกซ์ของคุณ: ใส่เมทริกซ์จัตุรัสโดยแยกแต่ละแถวด้วยการขึ้นบรรทัดใหม่หรือแยกด้วยเครื่องหมายอัฒภาค องค์ประกอบสามารถแยกด้วยช่องว่าง จุลภาค หรือแท็บ รองรับสูงสุด 8×8
ตั้งค่าความแม่นยำทศนิยม: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยม (2-10) ที่ต้องการให้แสดงในผลลัพธ์
คลิกแยกตัวประกอบ (Decompose): เครื่องคำนวณจะทำการแยกตัวประกอบ LU พร้อมการเลือกหลักบางส่วนและแสดงผลลัพธ์
ตรวจสอบผลลัพธ์: ตรวจสอบเมทริกซ์ L, U และ P, แอนิเมชันการแยกตัวประกอบ และรายละเอียดขั้นตอนการกำจัดทีละขั้นตอน

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการแยกตัวประกอบ LU

การแยกตัวประกอบ LU มีประสิทธิภาพอย่างยิ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น $Ax = b$ เมื่อคุณได้ $PA = LU$ แล้ว การแก้สมการจะกลายเป็นกระบวนการสองขั้นตอน:

ขั้นตอนที่ 1: การแทนที่ไปข้างหน้า (Forward Substitution)

แก้สมการ $Ly = Pb$ เพื่อหา $y$ เนื่องจาก $L$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ขั้นตอนนี้จึงทำได้ง่าย — เริ่มจากสมการบนสุดและไล่ลงมา:

การแทนที่ไปข้างหน้า

$$y_i = b_i' - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij} y_j, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

ขั้นตอนที่ 2: การแทนที่ย้อนกลับ (Back Substitution)

แก้สมการ $Ux = y$ เพื่อหา $x$ เนื่องจาก $U$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ให้เริ่มจากสมการล่างสุดและไล่ขึ้นไป:

การแทนที่ย้อนกลับ

$$x_i = \frac{1}{U_{ii}} \left( y_i - \sum_{j=i+1}^{n} U_{ij} x_j \right), \quad i = n, n-1, \ldots, 1$$

การคำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$ สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพจากตัวประกอบ LU:

ดีเทอร์มิแนนต์จากการแยกตัวประกอบ LU

$$\det(A) = (-1)^s \cdot \prod_{i=1}^{n} U_{ii}$$

โดยที่ $s$ คือจำนวนครั้งที่สลับแถว (pivots) และ $U_{ii}$ คือองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมของ $U$ เนื่องจาก $\det(L) = 1$ (องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมทั้งหมดเป็น 1) และ $\det(P) = (-1)^s$ สูตรนี้จึงมาจาก $\det(P)\det(A) = \det(L)\det(U)$

ทำไมต้องเลือกหลักบางส่วน?

หากไม่มีการเลือกหลัก การแยกตัวประกอบ LU จะล้มเหลวหากองค์ประกอบหลักใดๆ เป็นศูนย์ แม้ว่าตัวหลักจะไม่เป็นศูนย์แต่มีค่าน้อยมาก ผลลัพธ์ที่คำนวณได้อาจเกิดข้อผิดพลาดทางตัวเลขที่รุนแรง การเลือกหลักบางส่วนจะเลือกตัวหลักที่ใหญ่ที่สุดในแต่ละคอลัมน์ ซึ่งช่วย:

ป้องกันการหารด้วยศูนย์
ลดการเพิ่มขึ้นของข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ
รับประกันว่าตัวคูณใน L เป็นไปตามเงื่อนไข $|L_{ij}| \leq 1$
รับรองว่าเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกภพทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบได้

การประยุกต์ใช้งานการแยกตัวประกอบ LU

สาขา	การประยุกต์ใช้งาน
วิศวกรรม	การแก้ระบบสมการขนาดใหญ่จากการวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์, การจำลองวงจร, กลศาสตร์โครงสร้าง
การคำนวณทางวิทยาศาสตร์	การหาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์, การหาเมทริกซ์ผกผัน, การประมาณค่าเลขเงื่อนไข (condition number)
สถิติ	การวิเคราะห์การถดถอย, การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม, การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด
คอมพิวเตอร์กราฟิกส์	ไปป์ไลน์การแปลงรูป, การจำลองทางฟิสิกส์, การคำนวณแสงสว่าง
แมชชีนเลิร์นนิง	การฝึกแบบจำลองเชิงเส้น, กระบวนการเกาส์เซียน, วิธีการเคอร์เนล
เศรษฐศาสตร์	แบบจำลองปัจจัยการผลิตและผลผลิต (Input-output models), การวิเคราะห์ดุลยภาพ, ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

LU เปรียบเทียบกับการแยกตัวประกอบอื่น

LU vs QR: LU เร็วกว่า ($O(\frac{2}{3}n^3)$ เทียบกับ $O(\frac{4}{3}n^3)$) แต่มีความเสถียรทางตัวเลขน้อยกว่า QR มักถูกเลือกใช้สำหรับปัญหาการหาค่ากำลังสองน้อยที่สุด (least-squares)
LU vs Cholesky: Cholesky ($A = LL^T$) ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอน (symmetric positive-definite) แต่เร็วกว่าสองเท่าและเสถียรกว่า LU ทั่วไป
LU vs การกำจัดแบบเกาส์เซียน: LU *คือ* การกำจัดแบบเกาส์เซียนในรูปแบบหนึ่ง แต่รูปแบบที่แยกตัวประกอบ L และ U แล้วสามารถนำกลับมาใช้ใหม่เพื่อแก้สมการที่มีด้านขวาหลายชุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

คำถามที่พบบ่อย

การแยกตัวประกอบ LU คืออะไร?

การแยกตัวประกอบ LU (หรือเรียกว่า LU factorization) คือวิธีการแยกเมทริกซ์จัตุรัส A ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L และเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน U เพื่อให้ A = LU (หรือ PA = LU เมื่อมีการเลือกหลักบางส่วน) โดยเมทริกซ์ L จะมีค่า 1 บนเส้นทแยงมุมและเก็บตัวคูณจากการกำจัด ส่วน U คือผลลัพธ์จากการกำจัดแบบเกาส์เซียน

ทำไมต้องมีการเลือกหลักบางส่วนในการแยกตัวประกอบ LU?

การเลือกหลักบางส่วนจะสลับแถวเพื่อวางค่าสัมบูรณ์ที่มากที่สุดไว้ในตำแหน่งตัวหลัก สิ่งนี้ช่วยป้องกันการหารด้วยศูนย์เมื่อองค์ประกอบหลักเป็นศูนย์ และลดข้อผิดพลาดทางตัวเลขจากการหารด้วยจำนวนน้อยๆ ด้วยการเลือกหลักบางส่วน การแยกตัวประกอบจะกลายเป็น PA = LU โดยที่ P คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน

การแยกตัวประกอบ LU มีประโยชน์อย่างไร?

ใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น (Ax = b) อย่างมีประสิทธิภาพ, คำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์, หาเมทริกซ์ผกผัน และวิเคราะห์ความเสถียร มีประสิทธิภาพมากเมื่อต้องแก้ระบบสมการหลายชุดที่มีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เดียวกัน

จะแก้สมการ Ax = b โดยใช้การแยกตัวประกอบ LU ได้อย่างไร?

หลังจากได้ PA = LU แล้ว ให้แก้ Ly = Pb ด้วยการแทนที่ไปข้างหน้า จากนั้นแก้ Ux = y ด้วยการแทนที่ย้อนกลับ วิธีนี้เร็วกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนมากในการแก้ระบบสมการหลายชุด

เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวแยกตัวประกอบ LU ได้หรือไม่?

เมทริกซ์จัตุรัสบางตัวอาจแยกไม่ได้หากไม่มีการสลับแถว แต่ด้วยการเลือกหลักบางส่วน (PA = LU) ทุกเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกภพจะสามารถแยกตัวประกอบได้เสมอ เมทริกซ์เอกภพอาจล้มเหลวหากพบตัวหลักที่เป็นศูนย์ในระหว่างกระบวนการ

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดย ทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 ก.พ. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์

ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์

การแยกตัวประกอบ LU คืออะไร?

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการแยกตัวประกอบ LU

ขั้นตอนที่ 1: การแทนที่ไปข้างหน้า (Forward Substitution)

ขั้นตอนที่ 2: การแทนที่ย้อนกลับ (Back Substitution)

การคำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์

ทำไมต้องเลือกหลักบางส่วน?

การประยุกต์ใช้งานการแยกตัวประกอบ LU

LU เปรียบเทียบกับการแยกตัวประกอบอื่น

คำถามที่พบบ่อย

การแยกตัวประกอบ LU คืออะไร?

ทำไมต้องมีการเลือกหลักบางส่วนในการแยกตัวประกอบ LU?

การแยกตัวประกอบ LU มีประโยชน์อย่างไร?

จะแก้สมการ Ax = b โดยใช้การแยกตัวประกอบ LU ได้อย่างไร?

เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวแยกตัวประกอบ LU ได้หรือไม่?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องมือเด่น: