เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
คำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนโดยละเอียด ตัวอย่างแบบโต้ตอบ และการแสดงภาพทางเรขาคณิตของระนาบสัมผัส
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้
MiniWebtool ให้ใช้งานฟรีเพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วย Premium (ไม่มีโฆษณา + เร็วขึ้น) หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วรีโหลดหน้าเว็บ
- หรืออัปเกรดเป็น Premium (ไม่มีโฆษณา)
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วรีโหลด
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย ของเรา ซึ่งเป็นเครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนโดยละเอียด ไม่ว่าคุณจะเป็นนักศึกษาแคลคูลัสที่กำลังเรียนรู้การหาอนุพันธ์หลายตัวแปร วิศวกรที่กำลังแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด หรือนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานเกี่ยวกับสมการอัตราการเปลี่ยนแปลง เครื่องคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำพร้อมคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ครบถ้วน
อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?
อนุพันธ์ย่อย คือการวัดว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อตัวแปรอินพุตตัวหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปในขณะที่ตัวแปรอื่นทั้งหมดคงที่ แตกต่างจากอนุพันธ์สามัญที่ใช้กับฟังก์ชันตัวแปรเดียว อนุพันธ์ย่อยเป็นพื้นฐานของแคลคูลัสหลายตัวแปรและปรากฏอยู่ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และการเรียนรู้ของเครื่อง
นิยามทางคณิตศาสตร์
สำหรับฟังก์ชัน \( f(x, y) \) สองตัวแปร อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ \( x \) ถูกกำหนดดังนี้:
เมื่อคำนวณ \( \frac{\partial f}{\partial x} \) เราจะถือว่า \( y \) เป็นค่าคงตัวและหาอนุพันธ์เทียบกับ \( x \) เท่านั้น ในทำนองเดียวกัน \( \frac{\partial f}{\partial y} \) จะถือว่า \( x \) เป็นค่าคงตัว
แนวคิดหลัก
อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง
หาอนุพันธ์หนึ่งครั้งเทียบกับตัวแปรตัวเดียวโดยถือตัวแปรอื่นคงที่ สำหรับ \( f(x,y) \) คือ \( f_x \) และ \( f_y \)
อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
หาอนุพันธ์สองครั้ง ไม่ว่าจะเป็น \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) (แบบล้วน) หรือ \( f_{xy} \), \( f_{yx} \) (อนุพันธ์ย่อยแบบผสม)
อนุพันธ์ย่อยแบบผสม
ตามทฤษฎีบทของ Clairaut หากอนุพันธ์ย่อยอันดับสองมีความต่อเนื่อง ดังนั้น \( f_{xy} = f_{yx} \) ลำดับการหาอนุพันธ์จะไม่มีผล
เวกเตอร์เกรเดียนต์
เกรเดียนต์ \( \nabla f = (f_x, f_y, f_z) \) ชี้ไปในทิศทางที่เพิ่มขึ้นมากที่สุด ขนาดของมันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด
วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้
- ป้อนฟังก์ชันของคุณ: พิมพ์ฟังก์ชันหลายตัวแปรโดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน ตัวอย่าง:
x**2*y,sin(x*y),e**x * cos(y),x**3 + y**3 - 3*x*y - ระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์: ป้อนตัวแปรที่จะหาอนุพันธ์เทียบกับ:
x— อนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ xx:2— อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ xx,y— อนุพันธ์ย่อยแบบผสม (x ก่อน แล้วค่อย y)x:2,y:1— อันดับสองเทียบกับ x และอันดับหนึ่งเทียบกับ y
- คลิก คำนวณ: เครื่องคำนวณจะคำนวณอนุพันธ์ย่อยพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนที่สมบูรณ์โดยแสดงว่ามีการใช้กฎการหาอนุพันธ์ใดบ้าง
ฟังก์ชันและไวยากรณ์ที่รองรับ
| ประเภทฟังก์ชัน | ตัวอย่างไวยากรณ์ | หมายเหตุ |
|---|---|---|
| ยกกำลัง | x**2, x^3, x**0.5 | ใช้ ** หรือ ^ สำหรับเลขชี้กำลัง |
| ตรีโกณมิติ | sin(x), cos(y), tan(z) | อื่นๆ: sec, csc, cot |
| ตรีโกณมิติผกผัน | asin(x), atan(y) | อื่นๆ: acos, acot, asec, acsc |
| เอกซ์โพเนนเชียล | exp(x), e**x | ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ |
| ลอการิทึม | log(x), ln(x) | ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e) |
| รากที่สอง | sqrt(x), x**0.5 | รูปแบบที่เท่ากัน |
| ไฮเพอร์โบลิก | sinh(x), cosh(y), tanh(z) | ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก |
| การคูณ | x*y, xy, 2xy | รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย |
กฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้
เครื่องคำนวณนี้จะระบุและแสดงกฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้ในแต่ละขั้นตอน:
- กฎเลขยกกำลัง: \( \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} \)
- กฎผลบวก: \( \frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \)
- กฎผลคูณ: \( \frac{\partial}{\partial x}(fg) = f\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial f}{\partial x} \)
- กฎผลหาร: \( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial g}{\partial x}}{g^2} \)
- กฎลูกโซ่: \( \frac{\partial}{\partial x}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \)
- กฎการคูณด้วยค่าคงตัว: \( \frac{\partial}{\partial x}(cf) = c\frac{\partial f}{\partial x} \)
การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ย่อย
เกรเดียนต์และการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด
อนุพันธ์ย่อยประกอบกันเป็นเวกเตอร์เกรเดียนต์ ซึ่งจำเป็นสำหรับการหาจุดสูงสุด จุดต่ำสุด และจุดอานม้าของฟังก์ชันหลายตัวแปร การตั้งค่าอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดให้เป็นศูนย์จะช่วยหาตำแหน่งของจุดวิกฤต
ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์
อนุพันธ์ย่อยอธิบายว่าปริมาณทางฟิสิกส์เปลี่ยนแปลงอย่างไร: เกรเดียนต์ของอุณหภูมิ ศักย์ไฟฟ้า พลศาสตร์ของไหล และสมการคลื่น ล้วนอาศัยการหาอนุพันธ์ย่อย
การเรียนรู้ของเครื่อง (Machine Learning)
อัลกอริทึม Gradient Descent ใช้อนุพันธ์ย่อยเพื่อลดฟังก์ชันการสูญเสีย (Loss Function) ให้เหลือน้อยที่สุด น้ำหนักแต่ละตัวในโครงข่ายประสาทจะถูกอัปเดตโดยใช้อนุพันธ์ย่อยของการสูญเสียเทียบกับน้ำหนักนั้น
เศรษฐศาสตร์
การวิเคราะห์ส่วนเพิ่ม (Marginal Analysis) ใช้อนุพันธ์ย่อยเพื่อวัดว่าผลผลิตเปลี่ยนแปลงอย่างไรเทียบกับปัจจัยนำเข้าหนึ่ง (แรงงาน, ทุน) ในขณะที่ปัจจัยอื่นคงที่
คำถามที่พบบ่อย
อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?
อนุพันธ์ย่อยคือการวัดว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนไป ในขณะที่ตัวแปรอื่นทั้งหมดคงที่ สำหรับฟังก์ชัน f(x,y) อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ซึ่งเขียนเป็น df/dx จะถือว่า y เป็นค่าคงตัวและหาอนุพันธ์เทียบกับ x เท่านั้น
ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสองได้อย่างไร?
ในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์สองครั้ง คุณสามารถหาอนุพันธ์สองครั้งเทียบกับตัวแปรเดียวกัน (เช่น d2f/dx2) หรือเทียบกับตัวแปรที่ต่างกัน (อนุพันธ์ย่อยแบบผสม เช่น d2f/dxdy) ป้อนรูปแบบเช่น 'x:2' สำหรับอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ x หรือ 'x,y' สำหรับอนุพันธ์ย่อยแบบผสม
อนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์สามัญแตกต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์สามัญใช้กับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรนั้นตัวเดียว อนุพันธ์ย่อยใช้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรและวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรหนึ่งในขณะที่ถือว่าตัวแปรอื่นทั้งหมดเป็นค่าคงตัว
อนุพันธ์ย่อยแบบผสมคืออะไร?
อนุพันธ์ย่อยแบบผสมเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรที่ต่างกันตามลำดับ ตัวอย่างเช่น d2f/dxdy หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ f เทียบกับ y ก่อน แล้วจึงหาอนุพันธ์ของผลลัพธ์เทียบกับ x ตามทฤษฎีบทของ Clairaut สำหรับฟังก์ชันส่วนใหญ่ d2f/dxdy = d2f/dydx
ฉันจะป้อนฟังก์ชันในเครื่องคำนวณได้อย่างไร?
ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน: x**2 หรือ x^2 สำหรับยกกำลัง, sin(x), cos(x), tan(x) สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ, exp(x) หรือ e**x สำหรับเอกซ์โพเนนเชียล, log(x) หรือ ln(x) สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ, sqrt(x) สำหรับรากที่สอง การคูณสามารถเป็นแบบละเครื่องหมาย (xy) หรือแบบระบุเครื่องหมาย (x*y) ก็ได้
แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครองคำนวณอนพนธยอย/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีม miniwebtool อัปเดตล่าสุด: 19 มกราคม 2026
คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.
เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:
แคลคูลัส:
- เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน
- เครื่องคิดเลขอนุพันธ์
- เครื่องคิดตอนุพันธ์เชิงทิศทาง
- เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์โดยปริยาย
- เครื่องคิดเลขอินทิเกรต
- เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน
- เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ
- เครื่องคำนวณลิมิต
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว
- เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์
- เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น