เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน เครื่องมือออนไลน์ฟรีที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง พร้อมวิธีการแก้ปัญหาโดยละเอียดทีละขั้นตอนและการแสดงภาพแบบโต้ตอบ ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังเรียนรู้เรื่องการประมวลผลสัญญาณ วิศวกรที่วิเคราะห์ระบบเชิงเส้น หรือนักวิจัยที่ทำงานกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เครื่องคำนวณนี้มีทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อทำความเข้าใจและคำนวณคอนโวลูชันได้อย่างแม่นยำ

คอนโวลูชันคืออะไร?

คอนโวลูชัน (Convolution) คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่รวมฟังก์ชัน (หรือสัญญาณ) สองฟังก์ชันเข้าด้วยกันเพื่อสร้างฟังก์ชันที่สาม มันอธิบายว่ารูปร่างของฟังก์ชันหนึ่งถูกปรับเปลี่ยนโดยอีกฟังก์ชันหนึ่งอย่างไร คอนโวลูชันแทนด้วยสัญลักษณ์ดอกจัน (*) และมีความสำคัญอย่างยิ่งในการประมวลผลสัญญาณ การประมวลผลภาพ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และการประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรมมากมาย

ในการประมวลผลสัญญาณ คอนโวลูชันจะกำหนดเอาต์พุตของระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (LTI) เมื่อกำหนดสัญญาณอินพุตและการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของระบบ ทำให้เป็นการดำเนินการที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในการทำความเข้าใจว่าระบบแปลงสัญญาณอย่างไร

คอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Convolution)

สำหรับสัญญาณเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง คอนโวลูชันของลำดับ x[n] และ h[n] ถูกกำหนดดังนี้:

สำหรับลำดับความยาวจำกัดที่มีความยาว N และ M เอาต์พุตจะมีความยาว N + M - 1

คอนโวลูชันแบบวงกลม (Circular Convolution)

คอนโวลูชันแบบวงกลม (หรือแบบไซคลิก) ใช้เมื่อสัญญาณเป็นคาบหรือเมื่อทำงานกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) สำหรับคอนโวลูชันแบบวงกลม N จุด:

การดำเนินการมอดูโลทำให้ดัชนีวนรอบกลับมา ทำให้คอนโวลูชันแบบวงกลมเหมาะสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณที่เป็นคาบ

คอนโวลูชันแบบต่อเนื่อง (Continuous Convolution)

สำหรับฟังก์ชันเวลาต่อเนื่อง อินทิกรัลคอนโวลูชันถูกกำหนดดังนี้:

สำหรับสัญญาณแบบคอซอล (สัญญาณที่เป็นศูนย์สำหรับ t น้อยกว่า 0) ขีดจำกัดจะเป็น 0 ถึง t

คุณสมบัติของเครื่องคำนวณคอนโวลูชันนี้

• ประเภทคอนโวลูชันที่หลากหลาย: รองรับคอนโวลูชันเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่อง, คอนโวลูชันแบบวงกลมแบบไม่ต่อเนื่อง และคอนโวลูชันแบบต่อเนื่อง (รูปแบบอินทิกรัล)
• วิธีการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน: แสดงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ในแต่ละขั้นตอนของกระบวนการคอนโวลูชัน ช่วยให้คุณเข้าใจการคำนวณ
• การแสดงภาพแบบโต้ตอบ: สร้างกราฟ Chart.js แสดงสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตคอนโวลูชันเพื่อความเข้าใจทางสายตา
• รูปแบบอินพุตที่ยืดหยุ่น: ป้อนลำดับโดยมีหรือไม่มีวงเล็บก็ได้ (1, 2, 3 หรือ [1, 2, 3]) และฟังก์ชันโดยใช้สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน
• ตัวอย่างด่วน: ปุ่มตัวอย่างที่ตั้งค่าไว้ล่วงหน้าช่วยให้คุณสำรวจสถานการณ์คอนโวลูชันต่างๆ ได้ทันที
• การแสดงผลด้วย MathJax: สูตรทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามและเป็นมืออาชีพ

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. เลือกประเภทคอนโวลูชัน: เลือกระหว่างคอนโวลูชันเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่อง (สำหรับการประมวลผลสัญญาณมาตรฐาน), คอนโวลูชันแบบวงกลมแบบไม่ต่อเนื่อง (สำหรับแอปพลิเคชัน DFT) หรือคอนโวลูชันแบบต่อเนื่อง (สำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์)
2. ป้อนสัญญาณอินพุตหรือฟังก์ชัน: สำหรับคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง ให้ป้อนค่าที่คั่นด้วยจุลภาค (เช่น 1, 2, 3, 4) สำหรับคอนโวลูชันแบบต่อเนื่อง ให้ป้อนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (เช่น t, sin(t), exp(-t))
3. ใช้ตัวอย่าง: คลิกปุ่มตัวอย่างเพื่อโหลดสถานการณ์คอนโวลูชันทั่วไปอย่างรวดเร็ว และดูว่าอินพุตที่แตกต่างกันให้ผลลัพธ์อย่างไร
4. คำนวณและวิเคราะห์: คลิก "คำนวณคอนโวลูชัน" เพื่อดูผลลัพธ์พร้อมวิธีการแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอน ตารางการคำนวณ และการแสดงภาพแบบโต้ตอบ

คุณสมบัติของคอนโวลูชัน

คอนโวลูชันมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายประการซึ่งมีประโยชน์ในการประมวลผลและการวิเคราะห์สัญญาณ:

การประยุกต์ใช้คอนโวลูชัน

การประมวลผลสัญญาณ

คอนโวลูชันเป็นพื้นฐานของการกรองสัญญาณ เมื่อคุณทำคอนโวลูชันสัญญาณอินพุตกับการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของตัวกรอง คุณจะได้เอาต์พุตที่ผ่านการกรองแล้ว นี่คือวิธีที่ตัวกรองความถี่ต่ำ ความถี่สูง และแถบความถี่ประมวลผลสัญญาณ

การประมวลผลภาพ

ในการประมวลผลภาพ คอนโวลูชัน 2 มิติใช้สำหรับการดำเนินการต่างๆ เช่น การเบลอ การทำให้คมชัด การตรวจจับขอบ และการทำภาพนูน เคอร์เนลคอนโวลูชัน (เมทริกซ์ขนาดเล็ก) จะเลื่อนผ่านภาพเพื่อสร้างเอฟเฟกต์ต่างๆ

การประมวลผลเสียง

Convolution reverb จำลองพื้นที่อะคูสติกโดยการทำคอนโวลูชันเสียงแห้งกับการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของห้องหรือห้องโถง สิ่งนี้สร้างเอฟเฟกต์เสียงก้องที่สมจริงซึ่งจับลักษณะเฉพาะของพื้นที่ทางกายภาพ

โครงข่ายประสาทเทียม (Neural Networks)

Convolutional Neural Networks (CNNs) ใช้คอนโวลูชันเป็นการดำเนินการหลัก เคอร์เนลคอนโวลูชันที่เรียนรู้ได้จะดึงคุณลักษณะออกจากรูปภาพ ทำให้ CNN มีประสิทธิภาพอย่างยิ่งสำหรับการจดจำรูปภาพและงานคอมพิวเตอร์วิทัศน์

การวิเคราะห์ระบบ

สำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (LTI) เอาต์พุต y(t) จะเท่ากับคอนโวลูชันของอินพุต x(t) กับการตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) ของระบบ ความสัมพันธ์นี้เป็นรากฐานของการวิเคราะห์ระบบควบคุมและระบบสื่อสาร

ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับคอนโวลูชันของ PDF ของแต่ละตัวแปร สิ่งนี้ถูกใช้อย่างกว้างขวางในสถิติและกระบวนการสุ่ม

คอนโวลูชันเชิงเส้น vs แบบวงกลม

การทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างคอนโวลูชันเชิงเส้นและแบบวงกลมเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการประมวลผลสัญญาณที่ถูกต้อง:

คอนโวลูชันเชิงเส้น

• ความยาวเอาต์พุต: N + M - 1 สำหรับอินพุตที่มีความยาว N และ M
• ไม่มีการวนรอบ - ดัชนีขยายออกไปเกินความยาวสัญญาณเดิม
• ใช้สำหรับการประมวลผลสัญญาณและการกรองทั่วไป
• แสดงถึงคอนโวลูชันทางกายภาพที่แท้จริงของสัญญาณที่มีความยาวจำกัด

คอนโวลูชันแบบวงกลม

• ความยาวเอาต์พุต: max(N, M) หลังจากเติมศูนย์ให้มีความยาวเท่ากัน
• ใช้เลขคณิตมอดูโลสำหรับการวนรอบ
• จำเป็นเมื่อใช้ DFT สำหรับการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ
• สามารถได้คอนโวลูชันเชิงเส้นจากแบบวงกลมได้โดยการเติมศูนย์จนถึงความยาว N + M - 1

คู่มือรูปแบบอินพุต

ลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Sequences)

ป้อนค่าสัญญาณแยกกันด้วยจุลภาค วงเล็บเป็นทางเลือก:

• 1, 2, 3, 4 - ค่าคั่นด้วยจุลภาคอย่างง่าย
• [1, 2, 3, 4] - พร้อมวงเล็บเหลี่ยม
• 0.5, 1.5, 2.5 - รองรับค่าทศนิยม
• -1, 0, 1, 0, -1 - รองรับค่าลบ

ฟังก์ชันแบบต่อเนื่อง (Continuous Functions)

ป้อนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้สัญกรณ์มาตรฐาน:

• t - ฟังก์ชันเชิงเส้น
• t**2 หรือ t^2 - พหุนาม (ใช้ ** สำหรับเลขยกกำลัง)
• sin(t), cos(t), tan(t) - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• exp(t), exp(-t) - ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
• log(t) - ลอการิทึมธรรมชาติ
• 2*t + 3 - การผสมผสานกับค่าคงที่

ตัวอย่างคอนโวลูชันที่พบบ่อย

ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (Moving Average Filter)

ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 3 จุดช่วยให้ข้อมูลเรียบขึ้น: h[n] = [1/3, 1/3, 1/3] การทำคอนโวลูชันด้วยตัวกรองนี้จะหาค่าเฉลี่ยของแต่ละจุดกับเพื่อนบ้าน

การตรวจจับขอบ (Edge Detection)

เคอร์เนลผลต่าง h[n] = [1, -1] ใช้ตรวจจับการเปลี่ยนแปลง การทำคอนโวลูชันด้วยเคอร์เนลนี้จะหาจุดที่ค่าสัญญาณเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน

การทำให้เรียบแบบกgaussian (Gaussian Smoothing)

เคอร์เนลกgaussian เช่น [0.25, 0.5, 0.25] ให้การหาค่าเฉลี่ยที่ราบรื่นเป็นรูปทรงระฆัง ซึ่งช่วยลดสัญญาณรบกวนในขณะที่ยังคงโครงสร้างของสัญญาณไว้

การหาอนุพันธ์ (Differentiation)

เคอร์เนล [1, -2, 1] ประมาณค่าอนุพันธ์อันดับที่สอง มีประโยชน์สำหรับการตรวจจับจุดยอดและความโค้งในสัญญาณ

คำถามที่พบบ่อย

คอนโวลูชันในการประมวลผลสัญญาณคืออะไร?

คอนโวลูชันคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่รวมสัญญาณสองสัญญาณเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสัญญาณที่สาม มันอธิบายว่ารูปร่างของสัญญาณหนึ่งถูกปรับเปลี่ยนโดยอีกสัญญาณหนึ่งอย่างไร ในการประมวลผลสัญญาณ คอนโวลูชันใช้เพื่อกำหนดเอาต์พุตของระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (LTI) เมื่อกำหนดสัญญาณอินพุตและการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของระบบ

คอนโวลูชันเชิงเส้นและแบบวงกลมแตกต่างกันอย่างไร?

คอนโวลูชันเชิงเส้นจะได้เอาต์พุตที่มีความยาว N+M-1 โดยที่ N และ M คือความยาวของอินพุต ใช้สำหรับสัญญาณที่ไม่เป็นคาบ ส่วนคอนโวลูชันแบบวงกลมจะถือว่าสัญญาณเป็นคาบและสร้างเอาต์พุตที่มีความยาวเท่ากับอินพุต ดัชนีจะวนรอบกลับมาโดยใช้เลขคณิตมอดูโล ทำให้เหมาะสำหรับการคำนวณโดยใช้ DFT

ฉันจะใช้เครื่องคำนวณคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่องได้อย่างไร?

ป้อนค่าสัญญาณของคุณเป็นตัวเลขที่คั่นด้วยจุลภาค (เช่น 1, 2, 3) คุณสามารถเลือกใช้วงเล็บ [1, 2, 3] ได้ เลือกประเภทคอนโวลูชันแบบเชิงเส้นหรือแบบวงกลม จากนั้นคลิกคำนวณ เครื่องคำนวณจะแสดงผลลัพธ์พร้อมการคำนวณทีละขั้นตอนและการแสดงภาพ

ฟังก์ชันใดบ้างที่รองรับสำหรับคอนโวลูชันแบบต่อเนื่อง?

เครื่องคำนวณคอนโวลูชันแบบต่อเนื่องรองรับฟังก์ชันพหุนาม (t, t**2, t**3), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exp(t), exp(-t)), ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin(t), cos(t), tan(t)), ฟังก์ชันลอการิทึม (log(t)) และการผสมผสานของฟังก์ชันเหล่านี้ ใช้ ** สำหรับเลขยกกำลังและสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน

แอปพลิเคชันทั่วไปของคอนโวลูชันคืออะไร?

คอนโวลูชันใช้ในการกรองสัญญาณ (ตัวกรองความถี่ต่ำ, ความถี่สูง, แถบความถี่), การประมวลผลภาพ (การเบลอ, การตรวจจับขอบ, การทำให้คมชัด), การประมวลผลเสียง (เอฟเฟกต์เสียงก้อง, เสียงสะท้อน), การวิเคราะห์ระบบ (การกำหนดเอาต์พุตระบบจากการตอบสนองต่ออิมพัลส์), โครงข่ายประสาทเทียม (ชั้นคอนโวลูชันใน CNN) และความน่าจะเป็น (ผลรวมของตัวแปรสุ่ม)

ทำไมผลลัพธ์คอนโวลูชันของฉันจึงมีองค์ประกอบมากกว่าอินพุต?

สำหรับคอนโวลูชันเชิงเส้น หากอินพุต x มี N องค์ประกอบ และ h มี M องค์ประกอบ เอาต์พุตจะมี N + M - 1 องค์ประกอบ เนื่องจากคอนโวลูชัน "เลื่อน" สัญญาณหนึ่งผ่านอีกสัญญาณหนึ่ง และการเหลื่อมกันเพียงบางส่วนในช่วงเริ่มต้นและช่วงท้ายจะเพิ่มความยาวของเอาต์พุต

คอนโวลูชันเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์อย่างไร?

ตามทฤษฎีบทคอนโวลูชัน (Convolution Theorem) การคอนโวลูชันในโดเมนเวลาจะเท่ากับการคูณในโดเมนความถี่ คุณสมบัตินี้ช่วยให้สามารถคำนวณคอนโวลูชันได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ FFT: แปลงสัญญาณทั้งสอง คูณกัน แล้วแปลงกลับ วิธีนี้จะลดความซับซ้อนจาก O(N*M) เป็น O(N log N)

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับคอนโวลูชันและการประมวลผลสัญญาณ:

• คอนโวลูชัน - Wikipedia
• อินทิกรัลคอนโวลูชัน - Khan Academy
• Signal Processing Stack Exchange

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

แคลคูลัส:

• เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน
• เครื่องคิดเลขอนุพันธ์
• เครื่องคิดตอนุพันธ์เชิงทิศทาง
• เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์โดยปริยาย
• เครื่องคิดเลขอินทิเกรต
• เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน
• เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ
• เครื่องคำนวณลิมิต
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว
• เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์
• เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น