เครื่องคิดเลขสัมประสิทธิ์ทวินาม

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขสัมประสิทธิ์ทวินาม

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขสัมประสิทธิ์ทวินาม เครื่องมือออนไลน์ฟรีสำหรับคำนวณ C(n, k) ซึ่งคือจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ k ชิ้นจาก n ชิ้น เครื่องคิดเลขนี้จะแสดงวิธีทำทีละขั้นตอน การแสดงผลสามเหลี่ยมปาสกาล และตัวอย่างการใช้งานจริงเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจสัมประสิทธิ์ทวินามได้ดียิ่งขึ้น

สัมประสิทธิ์ทวินามคืออะไร?

สัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งเขียนแทนด้วย C(n, k), $\binom{n}{k}$ หรือ "n เลือก k" คือจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ k ชิ้นจากเซตที่มีสิ่งของ n ชิ้นโดยไม่คำนึงถึงลำดับ เป็นแนวคิดพื้นฐานในด้านวิธีจัดหมู่ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และพีชคณิต

ตัวอย่างเช่น C(5, 2) = 10 หมายความว่ามี 10 วิธีในการเลือกสิ่งของ 2 ชิ้นจากสิ่งของที่แตกต่างกัน 5 ชิ้น

จะคำนวณ C(n, k) ได้อย่างไร?

มีหลายวิธีในการคำนวณสัมประสิทธิ์ทวินาม:

วิธีที่ 1: สูตรแฟกทอเรียล

ใช้คำนิยามโดยตรง:

ตัวอย่าง: $C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

วิธีที่ 2: สูตรการคูณ

เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าซึ่งช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณแฟกทอเรียลจำนวนมาก:

ตัวอย่าง: $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

วิธีที่ 3: สามเหลี่ยมปาสกาล

อ่านค่าได้โดยตรงจากสามเหลี่ยมปาสกาล โดยแถวที่ n (เริ่มจาก 0) จะประกอบด้วยค่า C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) ทั้งหมด

ความสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมปาสกาล

สามเหลี่ยมปาสกาลคือการจัดเรียงตัวเลขเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ตัวเลขแต่ละตัวคือผลรวมของตัวเลขสองตัวที่อยู่เหนือมัน สามเหลี่ยมนี้แสดงให้เห็นถึงสัมประสิทธิ์ทวินามทั้งหมดได้อย่างสวยงาม

• แถวที่ 0: 1
• แถวที่ 1: 1 1
• แถวที่ 2: 1 2 1
• แถวที่ 3: 1 3 3 1
• แถวที่ 4: 1 4 6 4 1
• แถวที่ 5: 1 5 10 10 5 1

ตัวเลขในแถวที่ n ณ ตำแหน่ง k จะเท่ากับ C(n, k) ตัวอย่างเช่น ในแถวที่ 4 ค่า [1, 4, 6, 4, 1] จะตรงกับ C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4)

คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ทวินาม

การประยุกต์ใช้สัมประสิทธิ์ทวินามในชีวิตจริง

ลอตเตอรีและเกมเสี่ยงโชค

โอกาสในการถูกลอตเตอรีคำนวณโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม ตัวอย่างเช่น ในลอตเตอรีที่คุณเลือกเลข 6 ตัวจาก 49 ตัว จำนวนการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ C(49, 6) = 13,983,816 ซึ่งหมายความว่าโอกาสในการถูกรางวัลคือประมาณ 1 ใน 14 ล้าน

การจัดตั้งคณะกรรมการ

เมื่อจัดตั้งคณะกรรมการ สัมประสิทธิ์ทวินามจะบอกคุณว่าสามารถจัดกลุ่มที่แตกต่างกันได้กี่กลุ่ม หากคุณต้องการเลือกคณะกรรมการ 5 คนจากผู้สมัคร 20 คน จะมีคณะกรรมการที่เป็นไปได้ C(20, 5) = 15,504 คณะ

เกมไพ่

ในโป๊กเกอร์ จำนวนชุดไพ่ 5 ใบที่เป็นไปได้จากสำรับ 52 ใบคือ C(52, 5) = 2,598,960 ความน่าจะเป็นของไพ่บางชุด (เช่น ฟลัช หรือ ฟูลเฮาส์) จะใช้สัมประสิทธิ์ทวินามในการคำนวณ

สถิติและความน่าจะเป็น

การแจกแจงทวินาม ซึ่งอธิบายความน่าจะเป็นของความสำเร็จ k ครั้งในการทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน n ครั้ง ใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม: $P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

วิทยาการคอมพิวเตอร์

สัมประสิทธิ์ทวินามปรากฏในการวิเคราะห์อัลกอริทึม, โครงสร้างข้อมูล (binomial heaps), ทฤษฎีการเข้ารหัส และปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงผสม

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

1. ใส่ค่า n: กรอกจำนวนรายการทั้งหมด (n) ในช่องแรก ซึ่งแสดงถึงขนาดของเซตที่คุณกำลังเลือก
2. ใส่ค่า k: กรอกจำนวนรายการที่จะเลือก (k) ในช่องที่สอง โดยค่านี้ต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง n
3. คลิกคำนวณ: กดปุ่มคำนวณเพื่อหาค่า C(n, k) เครื่องมือจะแสดงผลลัพธ์พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอนอย่างละเอียด
4. ตรวจสอบผลลัพธ์: ตรวจสอบวิธีทำที่แสดงการใช้สูตร, การแสดงผลสามเหลี่ยมปาสกาลที่ไฮไลต์ค่าของคุณ, ตัวอย่างในชีวิตจริง และค่าสัมประสิทธิ์ทวินามที่เกี่ยวข้อง

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

สัมประสิทธิ์ทวินามคืออะไร?

สัมประสิทธิ์ทวินาม C(n, k) หรือเขียนว่า "n เลือก k" หรือ $\binom{n}{k}$ คือจำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของ k ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่คำนึงถึงลำดับ คำนวณได้จาก n! / (k! × (n-k)!) และมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในด้านความน่าจะเป็นและวิธีจัดหมู่

จะคำนวณ C(n, k) ได้อย่างไร?

วิธีที่ตรงที่สุดในการคำนวณ C(n, k) คือการใช้สูตร: C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) ตัวอย่างเช่น C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 10 สำหรับตัวเลขจำนวนมาก การใช้สูตรการคูณจะช่วยให้คำนวณได้ง่ายขึ้น

ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ทวินามกับสามเหลี่ยมปาสกาลคืออะไร?

ตัวเลขทุกตัวในสามเหลี่ยมปาสกาลคือสัมประสิทธิ์ทวินาม แถวที่ n (เริ่มจาก 0) ณ ตำแหน่ง k คือค่า C(n, k) สิ่งนี้ทำให้สามเหลี่ยมปาสกาลเป็นเครื่องมือในการมองภาพจำนวนวิธีการผสมผสานเหล่านี้ได้เป็นอย่างดี

การประยุกต์ใช้สัมประสิทธิ์ทวินามในชีวิตจริงมีอะไรบ้าง?

ใช้ในการคำนวณโอกาสถูกรางวัลลอตเตอรี, การจัดทีม, การแจกแจงความน่าจะเป็นในทางสถิติ, พันธุศาสตร์ และแม้แต่การนับจำนวนเส้นทางในวิทยาการคอมพิวเตอร์

คุณสมบัติความสมมาตรมีประโยชน์อย่างไร?

ความสมมาตร C(n, k) = C(n, n-k) ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น เช่น การคำนวณ C(100, 98) จะเหมือนกับการคำนวณ C(100, 2) ซึ่งคำนวณได้เร็วกว่ามาก (100 × 99 / 2 × 1)

ข้อมูลอ้างอิง

• สัมประสิทธิ์ทวินาม - วิกิพีเดีย
• สามเหลี่ยมปาสกาล - วิกิพีเดีย
• Binomial Coefficient - Wolfram MathWorld (ภาษาอังกฤษ)

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง:

• เครื่องคิดเลข Antilog แนะนำ
• เครื่องคิดเลขฟังก์ชันเบต้า
• เครื่องคิดเลขสัมประสิทธิ์ทวินาม
• เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบทวินาม
• เครื่องคิดเลขบิต
• เครื่องคำนวณทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง
• เครื่องคิดเลขรวม
• เครื่องคิดเลขฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริม
• เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน
• เครื่องคำนวณเอนโทรปี ใหม่
• เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด
• เครื่องคำนวณการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล
• เครื่องคำนวณการเติบโตแบบทวีคูณ ความแม่นยำสูง
• เครื่องคิดเลขเอกซ์โพเนนเชียลอินทิกรัล
• เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง-ความแม่นยำสูง แนะนำ
• เครื่องคำนวณแฟกทอเรียล
• เครื่องคิดเลขฟังก์ชันแกมมา
• เครื่องคำนวณอัตราส่วนทองคำ
• เครื่องคิดเลขครึ่งชีวิต
• เครื่องคำนวณอัตราการเติบโตเป็นเปอร์เซ็นต์
• เครื่องคิดเลขเรียงสับเปลี่ยน
• เครื่องคิดเลขการแจกแจงแบบปัวซง ใหม่
• เครื่องคำนวณรากของพหุนามพร้อมขั้นตอนละเอียด
• เครื่องคิดเลขความน่าจะเป็น
• เครื่องคิดเลขการแจกแจงความน่าจะเป็น
• เครื่องคำนวณสัดส่วน
• เครื่องคิดเลขสูตรกำลังสอง
• เครื่องคิดเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
• เครื่องคำนวณผลรวมของลูกบาศก์
• เครื่องคิดเลขหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก
• ผลรวมของเครองคดเลขกำลงสอง