เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์ เครื่องมือระดับมืออาชีพสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์พร้อมวิธีแก้ปัญหาแบบขั้นตอนที่ครอบคลุม ไม่ว่าคุณจะกำลังศึกษาพีชคณิตเชิงเส้น แก้ระบบสมการ หรือวิเคราะห์คุณสมบัติของเมทริกซ์ เครื่องคิดเลขนี้จะให้ข้อมูลการขยายตัวของโคแฟกเตอร์อย่างละเอียดและข้อมูลเชิงลึกของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร?

ดีเทอร์มิแนนต์คือค่าสเกลาร์ที่คำนวณจากองค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัส มันเข้ารหัสข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์และการแปลงเชิงเส้นที่มันแสดง ดีเทอร์มิแนนต์มีความสำคัญทางเรขาคณิตและพีชคณิตอย่างลึกซึ้งในคณิตศาสตร์

สูตรดีเทอร์มิแนนต์ 2x2

สำหรับเมทริกซ์ 2x2 ดีเทอร์มิแนนต์จะคำนวณได้โดยตรง:

สูตรดีเทอร์มิแนนต์ 3x3

สำหรับเมทริกซ์ 3x3 ให้ใช้การขยายตัวของโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือคอลัมน์ใด ๆ:

โดยที่โคแฟกเตอร์แต่ละตัว $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ และ $M_{ij}$ คือส่วนย่อย (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่มีการลบแถว i และคอลัมน์ j)

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขนี้

1. เลือกขนาดเมทริกซ์: เลือกจาก 2x2 ถึง 6x6 โดยใช้ปุ่มขนาดหรือป้อนเมทริกซ์จตุรัสใด ๆ ในพื้นที่ข้อความ
2. ป้อนค่า: เติมกริดเชิงโต้ตอบหรือพิมพ์ค่าโดยตรง ใช้ช่องว่างหรือเครื่องหมายจุลภาค เพื่อแยกองค์ประกอบ บรรทัดใหม่สำหรับแถว
3. คำนวณ: คลิกปุ่มคำนวณเพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
4. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา: ตรวจสอบการขยายตัวของโคแฟกเตอร์ทีละขั้นตอนแสดงการคำนวณข้อมูลกลางทั้งหมด
5. ตรวจสอบคุณสมบัติ: ตรวจสอบแผง คุณสมบัติเมทริกซ์ เพื่อทำความเข้าใจความสามารถในการย้อนกลับและลักษณะอื่น ๆ

การประยุกต์ใช้ดีเทอร์มิแนนต์

การทำความเข้าใจคุณสมบัติของเมทริกซ์

เมทริกซ์เอกพจน์เทียบกับเมทริกซ์ที่กลับด้านได้

• สามารถกลับด้านได้ (det ≠ 0): เมทริกซ์มีอินเวอร์สที่เป็นเอกลักษณ์ แถว/คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น และระบบ Ax = b มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน
• เอกพจน์ (det = 0): เมทริกซ์ไม่มีอินเวอร์ส แถว/คอลัมน์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และระบบอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือมีหลายคนไม่สิ้นสุด

ความสัมพันธ์ระหว่างรอยและดีเทอร์มิแนนต์

รอย (ผลรวมขององค์ประกอบเส้นทแยงมุม) และดีเทอร์มิแนนต์มีความสัมพันธ์กันผ่านค่าลักษณะเฉพาะ สำหรับเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ λ₁, λ₂, ..., λₙ:

• รอย = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
• ดีเทอร์มิแนนต์ = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

คำถามที่พบบ่อย

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คืออะไร?

ดีเทอร์มิแนนต์คือค่าสเกลาร์ที่คำนวณจากเมทริกซ์จตุรัสที่เข้ารหัสคุณสมบัติที่สำคัญ มันบ่งชี้ว่าเมทริกซ์สามารถกลับด้านได้หรือไม่ (ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์) แสดงถึงปัจจัยการปรับขนาดของการแปลงเชิงเส้น และเท่ากับปริมาณที่มีเครื่องหมายของทรงสี่เหลี่ยมขนานที่เกิดจากเวกเตอร์แถว/คอลัมน์

คุณคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ 2x2 ได้อย่างไร?

สำหรับเมทริกซ์ 2x2 [[a,b],[c,d]] ดีเทอร์มิแนนต์จะคำนวณเป็น det = ad - bc คูณองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (a×d) ลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรอบนอก (b×c)

คุณคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ 3x3 ได้อย่างไร?

สำหรับเมทริกซ์ 3x3 ให้ใช้การขยายตัวของโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือคอลัมน์ใด ๆ ขยายตามแถวแรก: det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃ โดยที่โคแฟกเตอร์แต่ละตัว Cᵢⱼ คูณ (-1)^(i+j) ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์รองลงมา 2x2

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายความว่าอย่างไร?

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์บ่งชี้ว่าเมทริกซ์เป็นเอกพจน์ (ไม่สามารถกลับด้านได้) นี่หมายความว่าแถว/คอลัมน์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เมทริกซ์แมปเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์บางตัวเป็นศูนย์ และระบบสมการ Ax=b ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนมากมายอย่างไม่สิ้นสุด

คุณสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมได้หรือไม่?

ไม่ ดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จตุรัส (จำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน) เท่านั้น สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม แนวคิดที่เกี่ยวข้องเช่นดีเทอร์มิแนนต์หลอกหรือค่าเอกพจน์สามารถคำนวณได้ แต่ดีเทอร์มิแนนต์ดั้งเดิมไม่มีอยู่

การขยายตัวของโคแฟกเตอร์คืออะไร?

การขยายตัวของโคแฟกเตอร์ (การขยายตัวของลาปลาส) คำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยขยายตามแถวหรือคอลัมน์ใด ๆ สำหรับแต่ละองค์ประกอบ aᵢⱼ ให้คูณด้วยโคแฟกเตอร์ Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ โดยที่ Mᵢⱼ เป็นส่วนย่อย (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่มีการลบแถว i และคอลัมน์ j) รวมผลิตภัณฑ์ทั้งหมดเพื่อให้ได้ดีเทอร์มิแนนต์

ทรัพยากรเพิ่มเติม

• ดีเทอร์มิแนนต์ - Wikipedia
• ดีเทอร์มิแนนต์ - Khan Academy

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

พีชคณิตเชิงเส้น:

• เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
• เครื่องคิดเลขค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
• เครื่องคิดเลขเมทริกซ์
• เครื่องคำนวณการแยกเศษส่วนบางส่วน
• เครื่องคิดเลขเวกเตอร์