เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น เครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณปริพัทธ์สามชั้น (Triple Integral) พร้อมวิธีทำอย่างละเอียดและการแสดงผลแบบ 3D ไม่ว่าคุณจะกำลังศึกษาแคลคูลัสหลายตัวแปร การแก้โจทย์ฟิสิกส์ หรือการประยุกต์ใช้งานด้านวิศวกรรม เครื่องคิดเลขนี้จะให้การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ที่แม่นยำสำหรับทั้งปริพัทธ์สามชั้นแบบจำกัดเขตและไม่จำกัดเขต

ปริพัทธ์สามชั้นคืออะไร?

ปริพัทธ์สามชั้น เป็นการขยายแนวคิดการอินทิเกรตไปยังสามมิติ โดยคำนวณปริพัทธ์ของฟังก์ชัน $f(x, y, z)$ เหนือบริเวณสามมิติ เขียนได้ดังนี้:

ปริพัทธ์สามชั้นเป็นพื้นฐานในแคลคูลัสหลายตัวแปรและมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ วิศวกรรม และคณิตศาสตร์ประยุกต์

การคำนวณปริพัทธ์สามชั้นทำงานอย่างไร

การอินทิเกรตซ้ำ

ปริพัทธ์สามชั้นเหนือบริเวณรูปกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะประเมินค่าโดยการอินทิเกรตชั้นเดียวสามครั้งต่อเนื่องกัน:

1. ปริพัทธ์ชั้นใน: อินทิเกรตเทียบกับตัวแปรชั้นในสุด (เช่น $z$) ในขณะที่ถือว่า $x$ และ $y$ เป็นค่าคงที่
2. ปริพัทธ์ชั้นกลาง: อินทิเกรตผลลัพธ์เทียบกับตัวแปรชั้นกลาง (เช่น $y$) ในขณะที่ถือว่า $x$ เป็นค่าคงที่
3. ปริพัทธ์ชั้นนอก: อินทิเกรตเทียบกับตัวแปรชั้นนอกสุด (เช่น $x$)

ทฤษฎีบทของฟูบินี

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องเหนือบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขีดจำกัดคงที่ ลำดับการอินทิเกรตสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ สิ่งนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทของฟูบินี อย่างไรก็ตาม สำหรับบริเวณที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษเกี่ยวกับลำดับการอินทิเกรตและขีดจำกัด

วิธีใช้เครื่องคิดเลขนี้

1. ป้อนฟังก์ชัน: ใส่ฟังก์ชัน $f(x, y, z)$ ที่ต้องการอินทิเกรต ใช้สัญลักษณ์มาตรฐานเช่น x*y*z, sin(x)*cos(y) หรือ exp(-x^2-y^2-z^2)
2. ระบุตัวแปร: กำหนดตัวแปรสามตัวของการอินทิเกรต ปริพัทธ์ชั้นนอกใช้ตัวแปรแรก ชั้นกลางใช้ตัวแปรที่สอง และชั้นในใช้ตัวแปรที่สาม
3. ตั้งค่าขีดจำกัด (ไม่บังคับ): ป้อนขอบเขตล่างและบนสำหรับแต่ละตัวแปร เว้นว่างไว้สำหรับปริพัทธ์ไม่จำกัดเขต รองรับนิพจน์เช่น pi, pi/2 หรือค่าตัวเลข
4. คำนวณ: คลิก "คำนวณปริพัทธ์สามชั้น" เพื่อดูวิธีทำทีละขั้นตอนและการแสดงผล

ฟังก์ชันและสัญลักษณ์ที่รองรับ

• เลขคณิต: +, -, *, /, ^ (ยกกำลัง)
• ตรีโกณมิติ: sin, cos, tan, sinh, cosh
• เลขชี้กำลัง/ลอการิทึม: exp, ln
• ค่าคงที่: pi, e
• การคูณโดยนัย: 2x ถูกตีความเป็น 2*x

การประยุกต์ใช้ปริพัทธ์สามชั้น

ระบบพิกัด

พิกัดคาร์ทีเซียน

ระบบเริ่มต้นที่ใช้พิกัด $(x, y, z)$ เหมาะที่สุดสำหรับบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและฟังก์ชันที่ไม่มีความสมมาตรที่ชัดเจน

พิกัดทรงกระบอก

ใช้ $(r, \theta, z)$ โดยที่ $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ องค์ประกอบปริมาตรกลายเป็น $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ เหมาะสำหรับปัญหาที่มีความสมมาตรเป็นวงกลมหรือทรงกระบอก

พิกัดทรงกลม

ใช้ $(\rho, \phi, \theta)$ โดยที่ $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$ องค์ประกอบปริมาตรคือ $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$ เหมาะที่สุดสำหรับบริเวณทรงกลม

คำถามที่พบบ่อย

ปริพัทธ์สามชั้นคืออะไร?

ปริพัทธ์สามชั้นเป็นการขยายการอินทิเกรตไปยังสามมิติ โดยคำนวณปริพัทธ์ของฟังก์ชัน $f(x,y,z)$ เหนือบริเวณสามมิติ เขียนเป็น $\iiint f(x,y,z) \, dV$ และใช้ในการคำนวณปริมาตร มวล จุดศูนย์กลางมวล และคุณสมบัติอื่นๆ ของวัตถุ 3 มิติ

คุณจะหาค่าปริพัทธ์สามชั้นได้อย่างไร?

ปริพัทธ์สามชั้นถูกหาค่าโดยการอินทิเกรตชั้นเดียวสามครั้งต่อเนื่องกัน เริ่มจากปริพัทธ์ชั้นในสุดและทำงานออกไปด้านนอก สำหรับบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้อินทิเกรตเทียบกับตัวแปรหนึ่งในขณะที่ถือว่าตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ จากนั้นทำซ้ำสำหรับตัวแปรที่เหลือ

ลำดับการอินทิเกรตในปริพัทธ์สามชั้นคืออะไร?

ลำดับการอินทิเกรตหมายถึงตัวแปรที่คุณอินทิเกรตก่อน ลำดับทั่วไป ได้แก่ $dz \, dy \, dx$, $dy \, dz \, dx$ ฯลฯ สำหรับบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขีดจำกัดคงที่ ลำดับไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย (ทฤษฎีบทของฟูบินี) แต่สำหรับบริเวณที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การเปลี่ยนลำดับอาจทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ฉันควรใช้ปริพัทธ์สามชั้นเมื่อใด?

ปริพัทธ์สามชั้นใช้เมื่อคำนวณคุณสมบัติของวัตถุสามมิติ: ปริมาตรของของแข็ง, มวลของวัตถุที่มีความหนาแน่นแปรผัน, จุดศูนย์กลางมวล, โมเมนต์ความเฉื่อย, การกระจายประจุไฟฟ้า และค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันเหนือบริเวณ 3 มิติ

ปริพัทธ์สามชั้นแบบจำกัดเขตและไม่จำกัดเขตแตกต่างกันอย่างไร?

ปริพัทธ์สามชั้นแบบจำกัดเขตมีขีดจำกัดเฉพาะสำหรับทั้งสามตัวแปรและให้ค่าตัวเลข ปริพัทธ์สามชั้นแบบไม่จำกัดเขตไม่มีขีดจำกัดและให้ฟังก์ชัน (ปฏิยานุพันธ์) บวกกับค่าคงที่ของการอินทิเกรต ปริพัทธ์แบบจำกัดเขตพบได้บ่อยกว่าในการประยุกต์ใช้

สามารถแปลงปริพัทธ์สามชั้นเป็นระบบพิกัดอื่นได้หรือไม่?

ได้ ปริพัทธ์สามชั้นสามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกระบอก $(r, \theta, z)$ หรือพิกัดทรงกลม $(\rho, \phi, \theta)$ เมื่อบริเวณหรือฟังก์ชันมีความสมมาตรที่สอดคล้องกัน ซึ่งมักทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ต้องรวมจาโคเบียนดีเทอร์มิแนนต์เมื่อเปลี่ยนพิกัด

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• Multiple Integral - Wikipedia
• Multivariable Calculus - Khan Academy

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

แคลคูลัส:

• เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน
• เครื่องคิดเลขอนุพันธ์
• เครื่องคิดตอนุพันธ์เชิงทิศทาง
• เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์โดยปริยาย
• เครื่องคิดเลขอินทิเกรต
• เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน
• เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ
• เครื่องคำนวณลิมิต
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
• เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว
• เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์
• เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น
• เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า ใหม่
• เครื่องคำนวณความโค้ง ใหม่