เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน

Q: ฉันจะแปลงระหว่างรูปแบบพิกัดฉากและรูปแบบเชิงขั้วได้อย่างไร?

ในการแปลงจากพิกัดฉาก (a+bi) เป็นเชิงขั้ว (r∠θ): คำนวณ r = √(a² + b²) สำหรับค่าสัมบูรณ์ และ θ = arctan(b/a) สำหรับอาร์กิวเมนต์ ในการแปลงจากเชิงขั้วเป็นพิกัดฉาก: คำนวณ a = r·cos(θ) สำหรับส่วนจริง และ b = r·sin(θ) สำหรับส่วนจินตภาพ

Q: ฉันจะหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร?

ในการหารากที่ n จำนวน n ตัวของ z = r∠θ ให้ใช้สูตร: root_k = r^(1/n) ∠ ((θ + 2πk)/n) สำหรับ k = 0, 1, 2, ..., n-1 ซึ่งจะให้รากที่แตกต่างกัน n ตัวที่มีระยะห่างเท่าๆ กันรอบวงกลมรัศมี r^(1/n) ในระนาบเชิงซ้อน

คำนวณจำนวนเชิงซ้อน: บวก, ลบ, คูณ, หาร, แปลงรูปแบบ, หาค่าสัมบูรณ์ (modulus), อาร์กิวเมนต์ (argument), สังยุค (conjugate), ยกกำลัง และราก พร้อมวิธีทำอย่างละเอียดทีละขั้นตอนและการแสดงภาพบนระนาบเชิงซ้อน

เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างรวดเร็ว - คลิกเพื่อลองใช้

+ การบวก (3+4i)+(1-2i)

- การลบ (5+3i)-(2+i)

× การคูณ (2+3i)×(4-i)

÷ การหาร (6+8i)÷(3-4i)

|z| ค่าสัมบูรณ์ |3+4i|

∠ อาร์กิวเมนต์ arg(1+i)

z̄ สังยุค conj(4-3i)

→∠ เป็นเชิงขั้ว 3+4i → r∠θ

→z เป็นพิกัดฉาก 5∠53° → a+bi

zⁿ ยกกำลัง (1+i)⁴

ⁿ√ ราก ³√8

z₁ จำนวนเชิงซ้อนที่ 1

รองรับรูปแบบพิกัดฉาก (a+bi) หรือเชิงขั้ว (r∠θ°)

⚙ การดำเนินการ

z₂ จำนวนเชิงซ้อนที่ 2

n เลขชี้กำลัง / อันดับของราก

จำนวนเต็มบวกสำหรับการยกกำลังหรือการหาราก

Embed เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพสำหรับการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนพร้อมวิธีทำทีละขั้นตอนและการแสดงภาพเชิงโต้ตอบ ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่เรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนจินตภาพ วิศวกรที่วิเคราะห์วงจร AC หรือนักคณิตศาสตร์ที่สำรวจระนาบเชิงซ้อน เครื่องคิดเลขนี้มีโซลูชันที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณทั้งหมดของคุณ

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

จำนวนเชิงซ้อน คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปแบบ $ a + bi $ โดยที่ $ a $ และ $ b $ เป็นจำนวนจริง และ $ i $ คือหน่วยจินตภาพที่สอดคล้องกับ $ i^2 = -1 $ จำนวน $ a $ เรียกว่า ส่วนจริง และ $ b $ เรียกว่า ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบพิกัดฉาก (Rectangular Form)

เขียนเป็น $ z = a + bi $ ซึ่งแสดงจุดที่มีพิกัด (a, b) บนระนาบเชิงซ้อน

รูปแบบเชิงขั้ว (Polar Form)

เขียนเป็น $ z = r \angle \theta $ หรือ $ z = re^{i\theta} $ โดยที่ r คือค่าสัมบูรณ์ และ theta คืออาร์กิวเมนต์

หน่วยจินตภาพ

สัญลักษณ์ $ i $ หมายถึง $ \sqrt{-1} $ ซึ่งช่วยให้สามารถแก้สมการเช่น $ x^2 + 1 = 0 $ ได้

การดำเนินการที่รองรับ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

การบวก

$$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

การลบ

$$ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

การคูณ

$$ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

การหาร

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ (Modulus): $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ - ระยะห่างจากจุดกำเนิด
อาร์กิวเมนต์ (Argument): $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ - มุมที่ทำกับแกนจริงทางบวก
สังยุค (Conjugate): $ \overline{z} = a - bi $ - การสะท้อนข้ามแกนจริง

การแปลงรูปแบบ

พิกัดฉากเป็นเชิงขั้ว

$$ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

เชิงขั้วเป็นพิกัดฉาก

$$ z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta $$

การยกกำลังและราก

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ (การยกกำลัง)

$$ (r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta) $$

รากที่ n

$$ \sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1 $$

วิธีใช้เครื่องคิดเลขนี้

ป้อนจำนวนเชิงซ้อน: ใช้รูปแบบพิกัดฉาก (เช่น 3+4i, -2-5i) หรือรูปแบบเชิงขั้ว (เช่น 5∠45°, 3∠π/4) เครื่องคิดเลขจะตรวจจับรูปแบบโดยอัตโนมัติ
เลือกการดำเนินการ: เลือกจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การแปลง หรือฟังก์ชัน เช่น ค่าสัมบูรณ์, อาร์กิวเมนต์, การยกกำลัง และราก
ป้อนข้อมูลเพิ่มเติม: สำหรับการดำเนินการทวิภาค ให้ป้อนจำนวนเชิงซ้อนตัวที่สอง สำหรับการยกกำลัง/ราก ให้ป้อนเลขชี้กำลัง
คลิกคำนวณ: ดูผลลัพธ์ในทั้งรูปแบบพิกัดฉากและเชิงขั้ว พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอนอย่างละเอียดและการแสดงภาพระนาบเชิงซ้อน

การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อน

วิศวกรรมไฟฟ้า

การวิเคราะห์วงจร AC ใช้ค่าอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนเพื่อแสดงความต้านทาน, ความจุไฟฟ้า และความเหนี่ยวนำ

การประมวลผลสัญญาณ

การแปลงฟูเรียร์ใช้เลขชี้กำลังเชิงซ้อนเพื่อวิเคราะห์และกรองสัญญาณ

กลศาสตร์ควอนตัม

ฟังก์ชันคลื่นมีค่าเชิงซ้อน โดยความน่าจะเป็นจะหาได้จากค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสอง

ระบบควบคุม

โพล (Poles) และซีโร่ (Zeros) ในระนาบเชิงซ้อนกำหนดเสถียรภาพและการตอบสนองของระบบ

คำถามที่พบบ่อย

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปแบบ a + bi โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และ i คือหน่วยจินตภาพที่ i² = -1 ส่วนจริงคือ 'a' และส่วนจินตภาพคือ 'b' จำนวนเชิงซ้อนขยายระบบจำนวนจริงและมีความสำคัญในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์

ฉันจะแปลงระหว่างรูปแบบพิกัดฉากและรูปแบบเชิงขั้วได้อย่างไร?

ในการแปลงจากพิกัดฉาก (a+bi) เป็นเชิงขั้ว (r มุม theta): คำนวณ r = sqrt(a² + b²) สำหรับค่าสัมบูรณ์ และ theta = arctan(b/a) สำหรับอาร์กิวเมนต์ ในการแปลงจากเชิงขั้วเป็นพิกัดฉาก: คำนวณ a = r คูณ cos(theta) สำหรับส่วนจริง และ b = r คูณ sin(theta) สำหรับส่วนจินตภาพ

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์คืออะไร?

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ระบุว่าสำหรับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว z = r(cos theta + i sin theta) และจำนวนเต็ม n ใดๆ: z^n = r^n(cos(n คูณ theta) + i sin(n คูณ theta)) ทฤษฎีบทนี้ทำให้การคำนวณเลขยกกำลังและรากของจำนวนเชิงซ้อนง่ายขึ้นมากโดยการทำงานกับรูปแบบเชิงขั้วแทนการคูณซ้ำๆ

ฉันจะหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร?

ในการหารากที่ n จำนวน n ตัวของ z = r มุม theta ให้ใช้สูตร: root_k = r^(1/n) มุม ((theta + 2 pi k)/n) สำหรับ k = 0, 1, 2, ..., n-1 ซึ่งจะให้รากที่แตกต่างกัน n ตัวที่มีระยะห่างเท่าๆ กันรอบวงกลมรัศมี r^(1/n) ในระนาบเชิงซ้อน

การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

จำนวนเชิงซ้อนถูกใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้าสำหรับการวิเคราะห์วงจร AC, การประมวลผลสัญญาณสำหรับการแปลงฟูเรียร์, กลศาสตร์ควอนตัมสำหรับฟังก์ชันคลื่น, ระบบควบคุมสำหรับการวิเคราะห์เสถียรภาพ, พลศาสตร์ของไหล และการแก้สมการพหุนาม พวกมันให้วิธีแก้ปัญหาที่สวยงามสำหรับปัญหาที่ยากลำบากหากใช้จำนวนจริงเพียงอย่างเดียว