เครื่องคิดเลขการแจกแจงความน่าจะเป็น

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขการแจกแจงความน่าจะเป็น เครื่องมือทางสถิติที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น, ความน่าจะเป็นสะสม (CDF) และควอนไทล์ (CDF ผกผัน) สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นต่างๆ ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังเรียนสถิติ, นักวิจัยที่กำลังวิเคราะห์ข้อมูล หรือมืออาชีพที่ทำงานกับแบบจำลองทางสถิติ เครื่องคิดเลขนี้จะให้โซลูชันแบบทีละขั้นตอนโดยละเอียดและการแสดงภาพแบบโต้ตอบเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจการแจกแจงความน่าจะเป็น

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่รองรับ

เครื่องคิดเลขนี้รองรับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้กันทั่วไป 7 แบบ ซึ่งแต่ละแบบเหมาะสำหรับปรากฏการณ์สุ่มประเภทต่างๆ:

ทำความเข้าใจฟังก์ชัน PDF, CDF และควอนไทล์

ฟังก์ชันความหนาแน่น/มวลความน่าจะเป็น (PDF/PMF)

PDF (สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง) หรือ PMF (สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง) ให้โอกาสสัมพัทธ์ของตัวแปรสุ่มที่จะมีค่าเฉพาะ สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ค่า PDF เองไม่ใช่ความน่าจะเป็นแต่เป็นความหนาแน่น—ความน่าจะเป็นหาได้จากการอินทิเกรต PDF ในช่วงเวลาหนึ่ง

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF)

CDF แทนด้วย F(x) ให้ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่า x เขียนได้เป็น P(X ≤ x) โดย CDF จะเพิ่มขึ้นจาก 0 ไปยัง 1 เสมอเมื่อ x เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชันควอนไทล์ (CDF ผกผัน)

ฟังก์ชันควอนไทล์ (เรียกอีกอย่างว่า percent-point function หรือ inverse CDF) หาค่า x ที่ทำให้ P(X ≤ x) = p โดยตอบคำถามว่า: "ค่าใดที่ถูกเกินกว่าเพียง (1-p)×100% ของการแจกแจง?" นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการหาค่าวิกฤตในการทดสอบสมมติฐาน

สูตรการแจกแจง

การแจกแจงแบบปกติ

การแจกแจงแบบปกติ (เกาส์เซียน) มีลักษณะสมมาตรและเป็นรูปทรงระฆัง กำหนดโดยค่าเฉลี่ย μ (จุดศูนย์กลาง) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ (การกระจาย)

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• ควอนไทล์: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

การแจกแจงทวินาม

จำลองจำนวนครั้งที่สำเร็จในการทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

การแจกแจงปัวซง

จำลองจำนวนเหตุการณ์ในช่วงเวลาที่คงที่ เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นด้วยอัตราเฉลี่ย λ ที่คงที่

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล

จำลองเวลาระหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการปัวซงที่มีอัตรา λ

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) สำหรับ x ≥ 0
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• ควอนไทล์: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

การแจกแจงไคสแควร์

เกิดขึ้นในสถิติในฐานะผลรวมของตัวแปรปกติมาตรฐานยกกำลังสอง ใช้ในการทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวน

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) สำหรับ x > 0

การแจกแจงทีของสติวเดนต์

คล้ายกับการแจกแจงแบบปกติแต่มีปลายหางที่หนากว่า ใช้สำหรับการอนุมานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของประชากรเมื่อขนาดกลุ่มตัวอย่างเล็กหรือความแปรปรวนของประชากรไม่ทราบแน่ชัด

• PDF: \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

วิธีใช้เครื่องคิดเลขนี้

1. เลือกการแจกแจง: คลิกที่การ์ดการแจกแจงที่ตรงกับข้อมูลหรือปัญหาของคุณ การ์ดแต่ละใบจะแสดงประเภทการแจกแจง (ต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง)
2. เลือกประเภทการคำนวณ: เลือก PDF/PMF สำหรับความน่าจะเป็น ณ จุดใดจุดหนึ่ง, CDF สำหรับความน่าจะเป็นสะสม หรือ Quantile เพื่อหาค่าสำหรับความน่าจะเป็นที่กำหนด
3. ป้อนพารามิเตอร์: ป้อนพารามิเตอร์การแจกแจง แบบฟอร์มจะแสดงเฉพาะพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงที่คุณเลือกโดยอัตโนมัติ
4. ป้อนค่าหรือความน่าจะเป็น: สำหรับ PDF/CDF ให้ป้อนค่า x (หรือ k สำหรับแบบไม่ต่อเนื่อง) สำหรับ Quantile ให้ป้อนความน่าจะเป็นระหว่าง 0 ถึง 1
5. ตรวจสอบผลลัพธ์: ตรวจสอบผลลัพธ์ที่คำนวณได้, ที่มาทางคณิตศาสตร์แบบทีละขั้นตอน และการแสดงภาพการแจกแจงแบบโต้ตอบ

คำถามที่พบบ่อย

การแจกแจงความน่าจะเป็นคืออะไร?

การแจกแจงความน่าจะเป็นคือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายโอกาสในการเกิดผลลัพธ์ต่างๆ ที่เป็นไปได้สำหรับตัวแปรสุ่ม อาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ทวินาม หรือ ปัวซง) สำหรับผลลัพธ์ที่นับได้ หรือแบบต่อเนื่อง (เช่น ปกติ หรือ เอกซ์โพเนนเชียล) สำหรับผลลัพธ์ที่สามารถมีค่าใดก็ได้ภายในช่วงหนึ่ง

PDF และ CDF แตกต่างกันอย่างไร?

PDF (ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น) หรือ PMF (ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น) ให้ความหนาแน่นความน่าจะเป็น ณ จุดที่กำหนด สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง PMF ให้ความน่าจะเป็นที่แน่นอน P(X=k) ส่วน CDF (ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม) ให้ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าใดค่าหนึ่ง: P(X≤x) CDF คือผลรวมสะสม/อินทิกรัลของ PDF/PMF

ควรใช้การแจกแจงแบบปกติเมื่อใด?

การแจกแจงแบบปกติเหมาะสำหรับข้อมูลต่อเนื่องที่มีการแจกแจงแบบสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย มักใช้กับปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น ส่วนสูง, คะแนนสอบ, ข้อผิดพลาดในการวัด และตัวแปรทางชีวภาพหลายอย่าง ทฤษฎีขีดจำกัดล่างกลางระบุว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างมักจะมีการแจกแจงแบบปกติไม่ว่าประชากรจะมีการแจกแจงแบบใด

ฟังก์ชันควอนไทล์คืออะไร?

ฟังก์ชันควอนไทล์ (เรียกอีกอย่างว่า CDF ผกผัน) คือการหาค่า x ที่ทำให้ P(X≤x) = p สำหรับความน่าจะเป็น p ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 (p=0.95) คือค่าที่ 95% ของข้อมูลตกอยู่ต่ำกว่าค่านั้น

ฉันจะเลือกการแจกแจงที่เหมาะสมได้อย่างไร?

เลือกตามลักษณะข้อมูลของคุณ: แบบปกติสำหรับข้อมูลสมมาตรต่อเนื่องรอบค่าเฉลี่ย; แบบทวินามสำหรับนับผลสำเร็จในการทดลองที่คงที่; แบบปัวซงสำหรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยในช่วงเวลาที่กำหนด; แบบเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับระยะเวลาระหว่างเหตุการณ์; แบบยูนิฟอร์มสำหรับความน่าจะเป็นที่เท่ากันตลอดช่วง; แบบไคสแควร์สำหรับการทดสอบความแปรปรวน; แบบทีของสติวเดนต์สำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กที่ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• การแจกแจงความน่าจะเป็น - Wikipedia
• การแจกแจงแบบปกติ - Wikipedia
• สถิติและความน่าจะเป็น - Khan Academy