Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych
Obliczaj nieznane wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z podstawowych tożsamości (pitagorejskich, sumy/różnicy kątów, podwójnego i połowy kąta), gdy jedna wartość jest znana. Idealne narzędzie do nauki i weryfikacji zależności trygonometrycznych!
O Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych
Witamy w naszym Kalkulatorze Tożsamości Trygonometrycznych, zaawansowanym narzędziu do obliczania nieznanych wartości funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem podstawowych tożsamości. Gdy znasz jedną wartość trygonometryczną (np. $\sin(x)$ lub $\cos(x)$) oraz ćwiartkę, w której leży kąt, kalkulator wyznacza pozostałe funkcje i stosuje różne tożsamości.
Co potrafi ten kalkulator
Dla zadanej znanej funkcji trygonometrycznej oraz ćwiartki, w której znajduje się kąt, kalkulator:
- Oblicza wszystkie sześć podstawowych funkcji: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
- Stosuje wzory podwójnego kąta: wyznacza $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ oraz $\tan(2x)$
- Stosuje wzory połowy kąta: wyznacza $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ oraz $\tan(x/2)$
- Wyznacza dokładny kąt: w stopniach oraz w radianach
- Weryfikuje tożsamości: sprawdza tożsamość pitagorejską $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
Kluczowe tożsamości trygonometryczne
- $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
- $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
- $$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$
- $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
- $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
- $$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$
- $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
- $$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
- $$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$
Ćwiartki i znaki funkcji
Znaki funkcji trygonometrycznych zależą od ćwiartki, w której znajduje się kąt:
- I ćwiartka (0°–90°): wszystkie funkcje są dodatnie (A)
- II ćwiartka (90°–180°): dodatnie są tylko sin i csc (S)
- III ćwiartka (180°–270°): dodatnie są tylko tan i cot (T)
- IV ćwiartka (270°–360°): dodatnie są tylko cos i sec (C)
Pomocny skrót: „All Students Take Calculus” (A–S–T–C)
Tożsamości odwrotnościowe
- $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
- $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
- $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
Jak korzystać z tego kalkulatora
- Wybierz znaną funkcję: określ, którą funkcję trygonometryczną znasz (sin, cos, tan, csc, sec lub cot).
- Wprowadź znaną wartość: wpisz wartość liczbową funkcji.
- Wybierz ćwiartkę: określ, w której ćwiartce leży kąt x (decyduje to o znakach pozostałych funkcji).
- Wybierz typ tożsamości: zdecyduj, które tożsamości mają być zastosowane (pitagorejskie, podwójnego kąta, połowy kąta lub wszystkie).
- Ustaw precyzję: wybierz liczbę miejsc po przecinku (1–100).
- Kliknij „Oblicz”: zobacz komplet wyników wraz z rozwiązaniem krok po kroku.
Zastosowania
- Edukacja: nauka i weryfikacja tożsamości trygonometrycznych
- Inżynieria: analiza sygnałów i fal
- Fizyka: ruch harmoniczny i zagadnienia oscylacji
- Nawigacja: obliczanie kątów i odległości
- Grafika komputerowa: macierze obrotu i transformacji
Dodatkowe materiały
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-tożsamości-trygonometrycznych/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 24 listopada 2025
Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.
Inne powiązane narzędzia:
Kalkulatory trygonometryczne:
- Konwerter DMS na Stopnie Dziesiętne Nowy
- Kalkulator Prawa Cosinusów Nowy
- Kalkulator Prawa Sinusów Nowy
- Kalkulator Trójkąta Prostokątnego Nowy
- Kalkulator Sinusa o Wysokiej Precyzji Nowy
- Kalkulator funkcji hiperbolicznych o wysokiej precyzji Nowy
- Rysowanie Wykresów Funkcji Trygonometrycznych Nowy
- Kalkulator Arcus Sinus (Odwrotny Sinus) Nowy
- Kalkulator Arcus Cosinus (Odwrotny Cosinus) Nowy
- Kalkulator cosinusa o wysokiej precyzji Nowy
- Kalkulator Tangensa o Wysokiej Precyzji Nowy
- Kalkulator Kosekansa/Sekansa/Kotangensa Nowy
- Kalkulator Arcus Tangens (arctan) Nowy
- Kalkulator Arctan2 Nowy
- Konwerter Stopni Dziesiętnych na Stopnie Minuty Sekundy Nowy
- Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego Nowy
- Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych Nowy