行列トレース電卓

Q: 行列のトレースとは何ですか？

正方行列Aのトレースはtr(A)と表記され、主対角線上の要素の合計です：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + aₙₙ。これは正方行列（n×n）に対してのみ定義されます。トレースは、線形代数において最も基本的な行列不変量の1つです。

Q: トレースレス行列とは何ですか？

トレースレス行列とはtr(A) = 0となる行列のことで、対角成分の合計がゼロであることを意味します。トレースレス行列はリー代数sl(n)を構成し、理論物理学や微分幾何学において中心的な役割を果たします。すべての行列は、スカラー部分とトレースレス部分の和 A = (tr(A)/n)I + B として分解できます。

Q: 行列のトレースはどのように計算しますか？

トレースの計算手順：(1) 主対角成分a₁₁, a₂₂, ..., aₙₙ（行番号と列番号が等しい要素）を特定します。(2) それらを加算します：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + aₙₙ。例えば、[[1,2],[3,4]]の場合、トレースは1 + 4 = 5となります。

正方行列のトレース（対角成分の和）を計算し、固有値の和との一致を確認し、トレースの性質を探索し、インタラクティブなヒートマップで対角成分を可視化します。最大10×10の行列に対応しています。

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例題の行列を試す:

3×3 基本 (tr=15) 3×3 単位行列 (tr=3) 2×2 トレースレス 3×3 分数 (tr=5/2) 4×4 一般 (tr=14)

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注意: トレースは正方行列に対してのみ定義されます。1行に1行ずつ入力し、値はカンマまたはスペースで区切ってください。最大10×10まで対応しています。

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行列トレース電卓

行列トレース電卓へようこそ。このツールは、任意の正方行列のトレース（主対角成分の合計）を算出するインタラクティブなツールです。トレースは一見単純ですが、非常に重要な指標です。固有値の合計に等しく、相似変換に対して不変であり、量子力学から機械学習まであらゆる分野に登場します。この電卓では、ステップバイステップの計算、固有値の検証、行列の累乗のトレース、性質の検出、そして対角成分を強調したヒートマップを提供します。

行列のトレースとは何ですか？

n×n 行列 A のトレースは tr(A) と表記され、対角要素の合計として定義されます：

トレースの定義

$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

正方行列（行数と列数が等しい行列）のみがトレースを持ちます。これは、行列式と並んで行列の最も基本的なスカラー値関数の1つです。

トレースと固有値

トレースの最も注目すべき性質の1つは、固有値との関係です：

トレースと固有値の関係

$$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

これは固有値が複素数の場合でも成り立ちます。実行列の場合、虚数部分は必ず打ち消し合い、トレースは実数になることが保証されます。この恒等式は、トレースと固有値の合計がどちらも特性多項式 $\det(A - xI)$ における $x^{n-1}$ の係数の負の値に等しいという事実から導かれます。

トレースの主な性質

線形性

トレースは行列空間における線形写像です：

$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
任意の定数 c に対して $\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$

循環性

トレースは行列の積の循環置換に対して不変です：

循環性

$$\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$$

注意：これは一般に tr(ABC) = tr(BAC) であることを意味するわけではありません。あくまで循環的な置換のみが許可されます。

相似不変性

正則行列 P に対して B = P^-1AP である場合、tr(B) = tr(A) となります。これにより、トレースは相似不変量となり、基底の選択に依存しない性質であることがわかります。

転置不変性

tr(A) = tr(A^T) です。行列を転置しても対角要素は変わらないためです。

フロベニウスノルムとの関係

トレースによるフロベニウスノルム

$$\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$$

トレースの応用

⚗

量子力学

観測可能量の期待値は $\langle A \rangle = \text{tr}(\rho A)$（ρは密度行列）で表されます。期待値、量子もつれエントロピー、フィデリティの計算において中心的な役割を果たします。

🌐

一般相対性理論

リッチスカラー R = g^μνR_μν は、計量に関するリッチテンソルのトレースです。これは時空がどれだけ湾曲しているかを測定します。

📊

機械学習

トレース正則化 tr(W^TW) は重みの大きさにペナルティを与え、核ノルム（トレースノルム）は行列補完や低ランク最適化に使用されます。

🎯

統計学

多変量解析において、ランダムベクトルの全分散はその共分散行列のトレースに等しくなります：全分散 = tr(Σ)。

特殊な行列とそのトレース

行列の種類	トレースの性質	例
単位行列 I_n	tr(I) = n	tr(I₃) = 3
零行列	tr(0) = 0	全要素がゼロ
対角行列	tr = 対角成分の和	tr(diag(2,5,3)) = 10
トレースレス (sl(n))	tr(A) = 0	パウリ行列、SU(n)生成子
対称行列	tr = 実固有値の和	すべての固有値が実数
直交行列	\|tr(A)\| ≤ n	回転行列
べき等行列	tr(A) = rank(A)	射影行列
べき零行列	すべての k に対して tr(A^k) = 0	すべての固有値がゼロ

行列の累乗のトレースとニュートンの恒等式

行列の累乗のトレース tr(A), tr(A²), tr(A³), ... は、固有値スペクトルに関する完全な情報を含んでいます。ニュートンの恒等式を通じて、これらの累乗トレースから特性多項式全体を再構成することが可能です：

累乗トレースの関係式

$$\text{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$$

つまり、トレースの数列 {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} は、行列 A の固有値を完全に決定します。

よくある質問

行列のトレースとは何ですか？

正方行列 A のトレースは tr(A) と表記され、主対角線上の要素の合計です：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn。これは正方行列（n×n）に対してのみ定義されます。トレースは、線形代数において最も基本的な行列不変量の1つです。

トレースと固有値にはどのような関係がありますか？

行列のトレースは、その固有値の合計（代数的多重度を含む）に等しくなります：tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n。これは、トレースと固有値の合計がどちらも特性多項式における x^n-1 の係数の負の値に等しいためです。

トレースの主な性質は何ですか？

主な性質：(1) 線形性: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B)。 (2) 転置不変性: tr(A) = tr(A^T)。 (3) 循環性: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)。 (4) 相似不変性: tr(P^-1AP) = tr(A)。 (5) tr(A^TA) = 全要素の二乗和 = ‖A‖²_F (フロベニウスノルムの二乗)。

線形代数においてトレースが重要なのはなぜですか？

トレースは相似不変量であり、基底変換によって変化しません。行列式と並んで、トレースは線形変換の性質を特徴づけます。物理学では量子力学（期待値）、一般相対性理論（リッチスカラー）、統計力学（分配関数）に登場します。機械学習では正則化やカーネル法で使用されます。

トレースレス行列とは何ですか？

トレースレス行列とは tr(A) = 0 となる行列のことで、対角成分の合計がゼロであることを意味します。トレースレス行列はリー代数 sl(n) を構成し、理論物理学や微分幾何学において中心的な役割を果たします。すべての行列は、A = (tr(A)/n)I + B として分解でき、B はトレースレス部分となります。

行列のトレースはどのように計算しますか？

トレースの計算手順：(1) 主対角成分 a₁₁, a₂₂, ..., a_nn（行番号と列番号が等しい要素）を特定します。(2) それらを加算します：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn。例えば、[[1,2],[3,4]] の場合、トレースは 1 + 4 = 5 となります。

追加リソース

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"行列トレース電卓"（https://MiniWebtool.com/ja//） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool チーム作成。更新日: 2026年2月21日

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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行列のトレースとは何ですか？

トレースと固有値

トレースの主な性質

線形性

循環性

相似不変性

転置不変性

フロベニウスノルムとの関係

トレースの応用

特殊な行列とそのトレース

行列の累乗のトレースとニュートンの恒等式

よくある質問

行列のトレースとは何ですか？

トレースと固有値にはどのような関係がありますか？

トレースの主な性質は何ですか？

線形代数においてトレースが重要なのはなぜですか？

トレースレス行列とは何ですか？

行列のトレースはどのように計算しますか？

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