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点と平面の距離計算電卓

点 (x₀, y₀, z₀) から平面 Ax + By + Cz + D = 0 までの最短の垂直距離を計算します。ステップバイステップの解決策、垂線の足、インタラクティブな3D可視化、幾何学的解析を表示します。

点と平面の距離計算電卓

例を試す:

基本 (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 原点 → z=5 平面 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0
P 点の座標
π 平面方程式: Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By + Cz + D = 0

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点と平面の距離計算電卓

点と平面の距離計算電卓へようこそ。このインタラクティブな3D幾何学ツールは、点から平面までの最短垂直距離を計算し、ステップバイステップの数式、垂線の足、回転可能な3D視覚化、および詳細な幾何学的分析を提供します。学生、エンジニア、数学愛好家を問わず、この電卓を使えば3D空間における距離計算を即座に視覚的に行うことができます。

点と平面の距離の公式

点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) から平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) までの垂直（最短）距離は以下の通りです：

点と平面の距離
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

ここで：

  • \(A, B, C\) は平面の法線ベクトルの成分です
  • \(D\) は平面方程式の定数です
  • \((x_0, y_0, z_0)\) は点の座標です
  • 分母の \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\) は法線ベクトルの大きさです

公式の理解

なぜこの公式が成り立つのか？

この距離公式は、平面上の任意の点から点Pへのベクトルを、平面の単位法線ベクトルに投影することから導かれます。Q を平面上の任意の点とすると、垂直距離は次のようになります：

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

\(\vec{n} = (A, B, C)\) であり、平面上の任意の点 Q が \(Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0\) を満たすため、内積は \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\) に簡略化されます。

符号付き距離

絶対値を取り除くと、符号付き距離が得られます：

符号付き距離
$$d_{\text{signed}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
  • 正: 点は法線ベクトルと同じ側にあります
  • 負: 点は反対側にあります
  • ゼロ: 点はちょうど平面上にあります

垂線の足

垂線の足とは、平面上で指定された点に最も近い点のことです。これは、P から負の法線方向に符号付き距離分だけ移動することで求められます：

垂線の足
$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

ここで \(\vec{n} = (A, B, C)\) は法線ベクトルです。パラメータ \(t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\) は、P から平面に到達するために法線方向にどれだけ進む必要があるかを表します。

この電卓の使い方

  1. 点の座標を入力： 3D空間の点 x₀, y₀, z₀ を入力します。負の数や小数もサポートしています。
  2. 平面方程式を入力： 平面 Ax + By + Cz + D = 0 の A, B, C, D を入力します。A, B, C のうち少なくとも1つはゼロ以外である必要があります。
  3. 精度を設定： 結果の小数点以下の桁数を選択します。
  4. 「計算」をクリック： 距離、垂線の足、単位法線、ステップバイステップの解決策、およびインタラクティブな3D視覚化を確認します。
  5. 3Dビューを操作： 視覚化部分をドラッグして回転させ、幾何学的な関係を詳しく調べることができます。

関連する距離の公式

公式説明次元
点と平面\(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D
点と直線 (2D)\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)2D
点と点\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)3D
平行な平面間\(d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D

主な用途

コンピュータグラフィックスとゲーム開発

点と平面の距離は、オブジェクトが表面と交差するかどうかを判断する衝突判定において不可欠です。また、どのオブジェクトがカメラに映るかを決定する視錐台カリング（frustum culling）や、シャドウマッピングアルゴリズムでも使用されます。

エンジニアリングとCAD

エンジニアは、部品が仕様を満たしているか確認する公差解析、表面偏差の測定、製造における品質管理にこの計算を利用します。CNC工作機械は、工具経路の計算に点と平面の距離を頼りにしています。

物理学とナビゲーション

物理学では、点電荷から導体平面までの距離の計算や、傾斜した地表面上の航空機の高度計算に役立ちます。GPSシステムも、参照平面に対する測位に同様の計算を使用します。

機械学習とデータサイエンス

サポートベクターマシン（SVM）では、クラス間のマージンはデータ点から分離ハイパープレーン（超平面）までの距離として計算されます。この概念は、3Dの公式から高次元へと自然に拡張されます。

よくある質問

点から平面までの距離を求める公式は何ですか？

点 P(x₀, y₀, z₀) から平面 Ax + By + Cz + D = 0 までの垂直距離は d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) です。これにより、常に平面に垂直な最短距離が得られます。

点から平面への垂線の足とは何ですか？

垂線の足とは、平面上で指定された点に最も近い点のことです。法線ベクトルに沿って点を平面上に投影することで求められます：F = P − t·n。ここで t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²)、n = (A, B, C) です。

点から平面までの符号付き距離とはどういう意味ですか？

符号付き距離は、点が平面のどちら側にあるかを示します。正は法線ベクトルと同じ側、負は反対側、ゼロは点が高い平面上にあることを意味します。これは衝突判定や半空間の分類に役立ちます。

平面の方程式 Ax + By + Cz + D = 0 はどのように定義しますか？

係数 A, B, C は平面の法線ベクトルを形成し、D は平面の位置を決めます。平面上の点 Q と法線 (A, B, C) が与えられている場合、D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q) となります。また、外積を用いて同一線上にない3点から方程式を導くこともできます。

この公式は2D（点と直線の距離）にも使えますか？

はい！点 (x₀, y₀) から直線 Ax + By + C = 0 までの距離の2D版は d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) です。3Dの公式は、この概念を高次元へ直接一般化したものです。

追加リソース

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"点と平面の距離計算電卓"（https://MiniWebtool.com/ja//） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. 最終更新日: 2026年2月18日

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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