ラプラス変換電卓
詳細なステップバイステップの解決策、インタラクティブな関数のプリセット、および時間領域と周波数領域の関数のデュアル可視化を使用して、ラプラス変換を即座に計算します。
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ラプラス変換電卓
ラプラス変換電卓へようこそ。これは、詳細なステップバイステップの解決策と視覚的な分析を使用してラプラス変換を計算するための強力な数学ツールです。工学を学ぶ学生、物理学者、あるいは研究者であっても、この電卓は複雑な積分変換を簡素化し、時間領域から周波数領域への変換を理解するのに役立ちます。
ラプラス変換とは何ですか？
ラプラス変換は、時間の関数 \( f(t) \) を複素周波数の関数 \( F(s) \) に変換する積分変換です。ピエール＝シモン・ラプラスにちなんで名付けられたこの数学的演算は、工学、物理学、および応用数学において、微分方程式の解決やシステムの分析に不可欠です。
この変換により、時間領域における微分や積分が s 領域における単純な代数演算に置き換わるため、複雑な問題を解決する上で非常に価値があります。
ラプラス変換の主な特性
これらの特性を理解することで、ラプラス変換を効率的に扱うことができます：
| 特性 | 時間領域 | s 領域 |
|---|---|---|
| 線形性 | \( af(t) + bg(t) \) | \( aF(s) + bG(s) \) |
| 一次微分 | \( f'(t) \) | \( sF(s) - f(0) \) |
| 二次微分 | \( f''(t) \) | \( s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \) |
| 積分 | \( \int_0^t f(\tau)d\tau \) | \( \frac{F(s)}{s} \) |
| 時間移動 | \( f(t-a)u(t-a) \) | \( e^{-as}F(s) \) |
| 周波数移動 | \( e^{at}f(t) \) | \( F(s-a) \) |
| 畳み込み | \( (f * g)(t) \) | \( F(s) \cdot G(s) \) |
| 初期値 | \( f(0^+) \) | \( \lim_{s\to\infty} sF(s) \) |
| 最終値 | \( \lim_{t\to\infty} f(t) \) | \( \lim_{s\to 0} sF(s) \) |
一般的なラプラス変換ペア
以下は、頻繁に使用される変換ペアの参照テーブルです：
変換参照テーブル
| f(t) | F(s) | 説明 |
|---|---|---|
1 |
1/s |
単位ステップ（定数） |
t |
1/s² |
ランプ関数 |
t^n |
n!/s^(n+1) |
べき関数 |
exp(a*t) |
1/(s-a) |
指数関数 |
sin(b*t) |
b/(s²+b²) |
正弦（サイン）関数 |
cos(b*t) |
s/(s²+b²) |
余弦（コサイン）関数 |
exp(-a*t)*sin(b*t) |
b/((s+a)²+b²) |
減衰正弦 |
exp(-a*t)*cos(b*t) |
(s+a)/((s+a)²+b²) |
減衰余弦 |
t*exp(a*t) |
1/(s-a)² |
t倍の指数関数 |
sinh(a*t) |
a/(s²-a²) |
双曲線正弦（シンチ） |
cosh(a*t) |
s/(s²-a²) |
双曲線余弦（コシュ） |
この電卓の使い方
- 関数の入力：変数
tを使用して時間領域関数 \( f(t) \) を入力します。exp(-2*t)*sin(3*t)のような標準的な記法を使用してください。 - プリセットの使用：プリセットボタンをクリックすると、指数、正弦、余弦、または減衰振動などの一般的な関数をすばやく読み込むことができます。
- 計算：「ラプラス変換を計算」をクリックして、\( F(s) \) を記号的に計算します。
- 結果の確認：表示された \( F(s) \)、ステップバイステップの導出、およびグラフィカルな可視化を確認します。
- 分析：時間領域と周波数領域の両方の表現を示すデュアルプロットを確認します。
サポートされている関数と構文
exp(x)- 指数関数 \( e^x \)sin(x),cos(x),tan(x)- 三角関数sinh(x),cosh(x),tanh(x)- 双曲線関数sqrt(x)- 平方根 \( \sqrt{x} \)log(x)またはln(x)- 自然対数t^nまたはt**n- べき関数*は乗算、/は除算- グループ化には括弧
()
ラプラス変換の応用
工学への応用
- 制御システム：伝達関数、安定性、およびシステム応答の分析
- 電気回路：RLC 回路の解決と過渡現象の分析
- 機械システム：振動、減衰、および強制振動のモデリング
- 信号処理：フィルタ設計と周波数応答分析
物理学への応用
- 熱伝導：拡散方程式の解決
- 量子力学：時間依存のシュレディンガー方程式の解
- 電磁気学：波の伝搬と送電線の分析
数学への応用
- 微分方程式：常微分方程式を代数方程式に変換
- 積分方程式：ボルテラ方程式やフレドホルム方程式の解決
- 特殊関数：ベッセル関数、ルジャンドル関数などの特性の導出
収束領域 (ROC) の理解
収束領域 (ROC) は、ラプラス変換の積分が収束する \( s \) の値の集合です。ROC は以下のために不可欠です：
- システムが安定しているかどうかの判断（ROC が虚軸を含む場合）
- 変換から元の関数を一意に特定する
- 因果信号と非因果信号の区別
因果信号（\( t < 0 \) でゼロになる関数）の場合、ROC は s 平面において最も右側にある極の右側に広がります。
逆ラプラス変換
逆ラプラス変換は、s 領域の表現から元の時間領域関数を復元します：
実際には、逆変換は部分分数展開や既知の変換ペアのルックアップテーブルを使用して計算されることがよくあります。
よくある質問
ラプラス変換とは何ですか？
ラプラス変換は、時間の関数 \( f(t) \) を複素周波数の関数 \( F(s) \) に変換する積分変換です。\( F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \) として定義されます。この変換は、微分方程式の解決や線形時不変システムの分析のために、工学や物理学で広く使用されています。
ラプラス変換はいつ使用すべきですか？
ラプラス変換は、定数係数を持つ線形常微分方程式の解法、制御システムや回路の挙動の分析、信号処理やシステム応答の研究、複雑な時間領域の問題を s 領域のより単純な代数的問題に変換すること、および極の位置を通じたシステムの安定性の分析に特に役立ちます。
収束領域 (ROC) とは何ですか？
収束領域 (ROC) は、ラプラス変換の積分が収束する \( s \) の値の集合です。ROC はシステムの安定性を判断し、変換から元の関数を一意に特定するために重要です。一般に、因果信号の場合、ROC は最も右側にある極の右側に広がります。
この電卓で関数をどのように入力しますか？
時間変数として t を使用した標準的な数学記法を使用してください。サポートされている関数には、指数関数の exp(x)、三角関数の sin(x) および cos(x)、双曲線関数の sinh(x) および cosh(x)、平方根の sqrt(x)、自然対数の log(x) または ln(x) があります。乗算には *、指数には ^ または **、グループ化には括弧を使用します。
ラプラス変換の主な特性は何ですか？
主な特性には、線形性、時間移動、周波数移動、微分（微分を s 倍に変える）、積分（積分を s 分の 1 倍に変える）、および畳み込み（畳み込みを積に変える）があります。これらの特性により、ラプラス変換は微分方程式を解くための強力なツールとなります。
ラプラス変換とフーリエ変換の関係は何ですか？
フーリエ変換は、\( s = j\omega \)（純虚数）の場合のラプラス変換の特殊なケースです。ラプラス変換はより一般的で、指数関数的に成長する関数を扱うことができますが、フーリエ変換は関数が絶対積分可能であることを必要とします。工学的な応用では、片側ラプラス変換（0から開始）が最も一般的です。
追加リソース
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"ラプラス変換電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/ラプラス変換電卓/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
miniwebtool チーム作成。最終更新日：2026年1月19日
また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。