広告ブロッカーにより広告が表示できません
MiniWebtool は広告収益で無料提供しています。このツールが役に立ったら、Premium（広告なし＋高速）をご利用いただくか、MiniWebtool.com を許可リストに追加して再読み込みしてください。
- または Premium（広告なし）にアップグレード
- MiniWebtool.com の広告を許可してから再読み込みしてください
連分数電卓
連分数電卓へようこそ。この強力なツールは、あらゆる小数、分数、または平方根を連分数表現に変換します。有名な表記法 [a₀; a₁, a₂, ...] を確認し、有理近似（近似分数）を探索し、入れ子構造の分数をインタラクティブに視覚化できます。
連分数とは何ですか？
連分数とは、整数部分と分数の入れ子になったシーケンスとして数値を表現する方法です：
ここで a₀, a₁, a₂, ... は部分商と呼ばれる非負の整数です。標準的な表記法は [a₀; a₁, a₂, a₃, ...] です。注目すべき例：
- π (円周率) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — 292 という数値は、円周率が 355/113 によって極めて正確に近似されることを意味します
- φ (黄金比) = [1; 1, 1, 1, ...] — 最も収束が遅い連分数
- √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — ラグランジュの定理により、周期性を持ちます
- e (ネイピア数) = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — 美しいパターンを持ちます
アルゴリズムの仕組み
任意の小数 x の場合
- a₀ = ⌊x⌋ (x の床関数) を計算します
- x₁ = 1/(x − a₀) とし、次に a₁ = ⌊x₁⌋ を計算します
- 繰り返し: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
- 小数部分がゼロになる（有理数）か、必要な項数が得られたら停止します
分数 p/q の場合（ユークリッド互除法）
分数の場合、アルゴリズムは最大公約数を求めるためのユークリッド互除法と同一です：
ユークリッド互除法の各割り算ステップが、連分数の部分商を一つずつ生成します。
近似分数：最良有理近似
近似分数 pₙ/qₙ は、連分数を各ステップで打ち切ることで得られます。これらは驚くべき特性を満たしています：pₙ/qₙ は、分母が qₙ 以下の分数の中で、x に対する最良の有理近似となります。
| 数値 | 近似分数 | 小数近似 | 誤差 |
|---|---|---|---|
| π | 3/1 | 3.0 | 0.14 |
| π | 22/7 | 3.142857... | 1.3 × 10⁻³ |
| π | 333/106 | 3.14150... | 8.3 × 10⁻⁶ |
| π | 355/113 | 3.1415929... | 2.7 × 10⁻⁷ |
| √2 | 1/1 | 1.0 | 0.41 |
| √2 | 3/2 | 1.5 | 0.086 |
| √2 | 7/5 | 1.4 | 0.014 |
| √2 | 17/12 | 1.41̅6̅ | 2.5 × 10⁻³ |
循環連分数
ラグランジュの定理により、実数が循環連分数を持つのは、その数が二次無理数（整数係数の二次方程式の解）である場合のみです。これには、完全平方数ではない整数のすべての平方根が含まれます。
- √2 = [1; 2] — 周期の長さ 1
- √3 = [1; 1, 2] — 周期の長さ 2
- √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — 周期の長さ 4
- √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — 周期の長さ 16
この電卓の使い方
- 値を入力する: 小数（例: 2.71828）、分数（例: 355/113）、または平方根（例: sqrt(7)）
- 最大項数を設定する: 項数を増やすと、より多くの部分商と近似分数が表示されます
- 「計算する」をクリック: 連分数表記、アニメーション表示される項、入れ子構造の視覚化、近似分数テーブル、およびユークリッド互除法のステップ（分数の場合）が表示されます
よくある質問
連分数とは何ですか？
連分数とは、a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) という形式の式で、a₀, a₁, a₂, ... は部分商と呼ばれる整数です。すべての実数は連分数展開を持ちます。有理数は有限の展開を持ち、無理数は無限の展開を持ちます。二次無理数（平方根など）は循環展開を持ちます。
小数を連分数に変換するにはどうすればよいですか？
整数部分（床関数）を最初の項として取り出します。その値を元の数から引き、逆数を取って繰り返します。例えば π ≈ 3.14159... の場合：整数部分 = 3、余り = 0.14159...、逆数 = 7.062...、整数部分 = 7、余り = 0.062...、逆数 = 15.996...、整数部分 = 15、となり [3; 7, 15, ...] が得られます。
なぜ sqrt(2) は循環連分数になるのですか？
ラグランジュの定理により、実数が循環連分数を持つのは、それが二次無理数である時だけです。√2 は x² = 2 を満たすため二次無理数であり、[1; 2, 2, 2, ...] となります。黄金比 φ = (1 + √5)/2 は [1; 1, 1, 1, ...] という最も単純な周期を持ちます。
近似分数（Convergents）とは何で、なぜ重要なのですか？
近似分数とは、連分数を途中で打ち切って得られる分数のことです。これらは最良有理近似であり、それより分母の小さい分数で、その数値により近いものは存在しません。22/7 や 355/113 が π の近似値として有名なのは、それらが π の連分数の近似分数だからです。
連分数アルゴリズムはユークリッド互除法とどのように関係していますか？
入力が分数 p/q の場合、その連分数を計算することはユークリッドの最大公約数アルゴリズムと同じです。余りと商を求める各ステップが、正確に一つの部分商を生成します。最大公約数が見つかった時点で連分数は終了します。
追加リソース
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"連分数電卓"（https://MiniWebtool.com/ja//） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
miniwebtool チーム作成。更新日: 2026年2月18日
また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。