Calcolatrice del Fattoriale
Calcola il fattoriale di qualsiasi numero intero non negativo (n!) con espansione passo-passo, notazione scientifica per numeri grandi, analisi del conteggio delle cifre e visualizzazione della crescita del fattoriale. Supporta valori fino a 1 milione.
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Calcolatrice del Fattoriale
La Calcolatrice del Fattoriale calcola il fattoriale di qualsiasi numero intero non negativo n, scritto come n! (si pronuncia "fattoriale di n"). Il fattoriale è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 a n, e questo strumento supporta calcoli per valori fino a un milione, visualizzando i risultati sia in forma completa che in notazione scientifica.
Cos'è il Fattoriale?
Il fattoriale di un numero intero non negativo n è il prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali a n. È indicato con n! ed è definito come:
Per convenzione, 0! è definito come 1. Ciò non è arbitrario: garantisce che molte formule matematiche funzionino correttamente e mantiene la relazione ricorsiva n! = n \u00d7 (n-1)!
Esempi di Fattoriali
- 0! = 1 (per definizione)
- 1! = 1
- 5! = 5 \u00d7 4 \u00d7 3 \u00d7 2 \u00d7 1 = 120
- 10! = 10 \u00d7 9 \u00d7 8 \u00d7 7 \u00d7 6 \u00d7 5 \u00d7 4 \u00d7 3 \u00d7 2 \u00d7 1 = 3.628.800
Come usare questa calcolatrice
- Inserisci il tuo numero: Digita qualsiasi numero intero non negativo da 0 a 1.000.000 nel campo di inserimento, oppure usa i pulsanti di selezione rapida per i valori comuni.
- Clicca su Calcola: Premi il pulsante "Calcola Fattoriale" per calcolare n!.
- Visualizza il tuo risultato: Visualizza il valore del fattoriale, la formula di espansione, il conteggio delle cifre e l'analisi degli zeri finali.
- Rivedi passo-passo: Per i piccoli valori (≤12), visualizza la scomposizione completa della moltiplicazione.
Comprendere i risultati
- Risultato Completo: Il valore esatto del fattoriale (mostrato per n ≤ 9999)
- Notazione Scientifica: Per i risultati grandi, visualizzati come mantissa \u00d7 10^esponente
- Conteggio Cifre: Quante cifre ci sono nel risultato del fattoriale
- Zeri Finali: Con quanti zeri termina il risultato
- Espansione: La formula della moltiplicazione n \u00d7 (n-1) \u00d7 ... \u00d7 1
Applicazioni dei Fattoriali
🎲 Permutazioni
Calcola il numero di modi per disporre n oggetti distinti. Ad esempio, 5 libri possono essere disposti su uno scaffale in 5! = 120 modi diversi.
🎯 Combinazioni
Scopri quanti modi ci sono per scegliere k elementi da n elementi usando la formula C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), fondamentale nella teoria della probabilità.
📐 Teorema Binomiale
I fattoriali compaiono nei coefficienti binomiali usati per espandere espressioni come (a+b)^n in algebra e analisi.
∑ Serie di Taylor
Molte funzioni importanti sono espresse come serie infinite che coinvolgono i fattoriali, come e^x = \u2211(x^n/n!) e sin(x).
La Crescita dei Fattoriali
I fattoriali crescono a un ritmo super-esponenziale, più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale. Questa crescita rapida è il motivo per cui i fattoriali sono importanti nella teoria della complessità e nell'analisi degli algoritmi.
| n | n! | Cifre | Zeri Finali |
|---|---|---|---|
| 5 | 120 | 3 | 1 |
| 10 | 3.628.800 | 7 | 2 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 19 | 4 |
| 50 | ≈ 3,04 \u00d7 10^64 | 65 | 12 |
| 100 | ≈ 9,33 \u00d7 10^157 | 158 | 24 |
| 1000 | ≈ 4,02 \u00d7 10^2567 | 2.568 | 249 |
Perché 0! = 1?
La definizione 0! = 1 è una convenzione matematica che fa funzionare correttamente molte formule:
- Ricorsione: La relazione n! = n \u00d7 (n-1)! implica 1! = 1 \u00d7 0!, quindi 0! deve essere uguale a 1.
- Calcolo Combinatorio: Esiste esattamente un modo per disporre zero oggetti: non facendo nulla.
- Funzione Gamma: Il fattoriale generalizzato \u0393(1) = 0! = 1.
- Prodotto vuoto: Il prodotto di nessun numero è definito come 1 (l'identità moltiplicativa).
Zeri Finali nei Fattoriali
Il numero di zeri finali in n! è uguale al numero di volte in cui 10 divide n!. Poiché 10 = 2 \u00d7 5 e ci sono sempre più fattori di 2 rispetto ai 5, contiamo i fattori di 5:
Approssimazione di Stirling
Per grandi n, calcolare n! esattamente diventa poco pratico. L'approssimazione di Stirling fornisce una stima:
Questa approssimazione diventa sempre più accurata all'aumentare di n ed è utile per i calcoli teorici.
Domande Frequenti (FAQ)
Cos'è un fattoriale?
Un fattoriale, indicato come n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 a n. Ad esempio, 5! = 5 \u00d7 4 \u00d7 3 \u00d7 2 \u00d7 1 = 120. Per definizione, 0! = 1. I fattoriali crescono in modo estremamente rapido: 20! ha già 19 cifre e 100! ne ha 158.
Perché il fattoriale di 0 è uguale a 1?
0! = 1 per convenzione matematica. Questa definizione fa sì che molte formule matematiche funzionino correttamente, in particolare nel calcolo combinatorio dove il numero di modi per disporre zero oggetti è uno. Mantiene anche la proprietà ricorsiva per cui n! = n \u00d7 (n-1)!.
Quanto velocemente crescono i fattoriali?
I fattoriali crescono più velocemente delle funzioni esponenziali. Mentre 10! = 3.628.800, solo 20! supera i 2 quintilioni. 100! ha 158 cifre e 1000! ne ha 2.568. Questa crescita super-esponenziale è il motivo per cui i fattoriali compaiono nella teoria della complessità.
A cosa servono i fattoriali?
I fattoriali sono fondamentali nel calcolo combinatorio per contare permutazioni e combinazioni. Compaiono nella teoria della probabilità, nel teorema binomiale, nelle espansioni in serie di Taylor e sono essenziali in statistica, fisica e informatica.
Come si contano gli zeri finali in un fattoriale?
Gli zeri finali derivano dai fattori di 10 (= 2 \u00d7 5). Si contano i fattori 5 poiché ci sono sempre più fattori 2. Usa: floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ... Ad esempio, 100! ha 20 + 4 + 0 = 24 zeri finali.
Cos'è l'approssimazione di Stirling?
L'approssimazione di Stirling stima i grandi fattoriali: n! \u2248 \u221a(2\u03c0n) \u00d7 (n/e)^n. Diventa più accurata all'aumentare di n ed è utile quando i valori esatti sono poco pratici da calcolare.
Risorse Aggiuntive
Cita questo contenuto, pagina o strumento come:
"Calcolatrice del Fattoriale" su https://MiniWebtool.com/it/calcolatrice-del-fattoriale/ di MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
dal team di miniwebtool. Aggiornato: 18 gen 2026
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