Calculadora de Proyección Vectorial

Bienvenido a la Calculadora de Proyección Vectorial, una potente herramienta de álgebra lineal que calcula la proyección de un vector sobre otro con desgloses de fórmulas paso a paso, visualización geométrica interactiva y descomposición ortogonal. Ya sea que esté estudiando álgebra lineal, trabajando en problemas de física o analizando datos en aprendizaje automático, esta calculadora hace que las proyecciones vectoriales sean intuitivas y fáciles de entender.

¿Qué es la Proyección Vectorial?

La proyección vectorial es una operación fundamental en álgebra lineal que determina cuánto de un vector se dirige en la dirección de otro. Dados los vectores a y b, la proyección de a sobre b produce un nuevo vector que se encuentra a lo largo de b y representa la "sombra" de a proyectada sobre la línea definida por b.

Existen dos conceptos relacionados:

• Proyección escalar (componente): Un solo número que representa la longitud con signo de la proyección a lo largo de b.
• Proyección vectorial: Un vector que se encuentra a lo largo de b con una magnitud igual a la proyección escalar.

Fórmula de la Proyección Vectorial

Fórmula de la Proyección Escalar

Descomposición Ortogonal

Cualquier vector a puede descomponerse en dos componentes perpendiculares relativos a b:

Donde \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) es el componente de a perpendicular a b (también llamado rechazo vectorial).

Cómo Usar Esta Calculadora

1. Elija la dimensión: Seleccione vectores 2D o 3D utilizando los botones de alternancia.
2. Ingrese los vectores: Introduzca los componentes del vector a (el vector a proyectar) y del vector b (la dirección de proyección).
3. Calcular: Haga clic en "Calcular Proyección" para ver los resultados completos, incluyendo proyección vectorial, proyección escalar, componente ortogonal, ángulo entre vectores y la solución paso a paso.
4. Explore la visualización: Revise el diagrama interactivo que muestra todos los vectores y la relación geométrica entre ellos.

Entendiendo sus Resultados

• Proyección Vectorial: El vector de proyección que se encuentra a lo largo de b.
• Proyección Escalar: La longitud con signo de la proyección (positiva si el ángulo < 90°, negativa si el ángulo > 90°).
• Componente Ortogonal: La parte de a perpendicular a b.
• Ángulo Entre Vectores: El ángulo θ tanto en grados como en radianes.
• Escalar de Proyección (a·b/b·b): El multiplicador aplicado a b para obtener el vector de proyección.

Aplicaciones de la Proyección Vectorial

Casos Especiales

• Vectores paralelos (θ = 0°): La proyección de a sobre b es igual a a mismo (escalado por la proporción de magnitudes).
• Vectores antiparalelos (θ = 180°): La proyección apunta en la dirección opuesta a b.
• Vectores perpendiculares (θ = 90°): La proyección es el vector cero; a no tiene componente a lo largo de b.
• Proyección escalar = 0: Los vectores son ortogonales.
• Proyección escalar negativa: El ángulo entre los vectores supera los 90°.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una proyección vectorial?

Una proyección vectorial de a sobre b es el componente de a que reside en la dirección de b. Se calcula como proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. El resultado es un vector que apunta en la misma dirección (o dirección opuesta) que b, representando cuánto de a va a lo largo de b.

¿Cuál es la diferencia entre proyección escalar y proyección vectorial?

La proyección escalar da un solo número que representa la longitud con signo de la proyección a lo largo de b, calculada como comp_b(a) = a·b / |b|. La proyección vectorial da un vector resultante que tiene tanto magnitud como dirección, calculado como proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. La proyección escalar es la magnitud (con signo) de la proyección vectorial.

¿Qué es el componente ortogonal (rechazo vectorial)?

El componente ortogonal (también llamado rechazo vectorial) es la parte del vector a que es perpendicular al vector b. Se calcula como a_⊥ = a − proj_b(a). Juntos, la proyección y el rechazo descomponen a a en dos componentes perpendiculares cuya suma es igual al vector original.

¿Puede ser negativa la proyección escalar?

Sí. Una proyección escalar negativa significa que el ángulo entre los dos vectores es mayor de 90°, por lo que el vector a tiene un componente que apunta en la dirección opuesta a b. El valor absoluto de la proyección escalar sigue representando la longitud de la sombra proyectada.

¿Por qué es importante la proyección vectorial en el aprendizaje automático?

La proyección vectorial es fundamental para técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA), que proyecta datos de alta dimensionalidad sobre las direcciones de máxima varianza. También se utiliza en regresión (proyectando vectores de respuesta sobre espacios de características), sistemas de recomendación y reducción de dimensionalidad, siendo una de las operaciones más utilizadas en la ciencia de datos.

Recursos Adicionales

• Proyección Vectorial - Wikipedia
• Producto Escalar - Wikipedia