Calculadora de Números Felices

Bienvenido a la Calculadora de Números Felices, una herramienta interactiva para explorar uno de los conceptos más encantadores de las matemáticas recreativas. Introduce cualquier número entero positivo y descubre si es un número feliz observando paso a paso su viaje de elevación al cuadrado. La visualización animada, el gráfico de trayectoria y el desglose detallado facilitan la comprensión de cómo los números alcanzan la felicidad o caen en un ciclo sin fin.

¿Qué es un número feliz?

Un número feliz es un número entero positivo que finalmente llega a 1 cuando se reemplaza repetidamente por la suma de los cuadrados de sus dígitos. Si un número nunca llega a 1 y, en su lugar, entra en un ciclo infinito, se denomina número infeliz (o número triste).

El proceso

Donde \(d_i\) son los dígitos individuales de \(n\). Por ejemplo:

• 19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ ¡Feliz!
• 2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → entra en ciclo ✘ Infeliz

El ciclo infeliz

Todo número infeliz acaba entrando en el mismo ciclo de 8 números:

Este hecho notable significa que sólo hay que comprobar si la secuencia llega alguna vez a 4 para determinar que un número es infeliz. No existe ningún otro ciclo para el proceso de elevación al cuadrado de dígitos en base 10.

Cómo usar esta calculadora

1. Introduce un número: Escribe cualquier número entero positivo en el campo de entrada. Prueba los ejemplos rápidos de números felices e infelices clásicos.
2. Elige un modo: Utiliza "Comprobar número individual" para analizar un número en profundidad, o "Encontrar todos los números felices en un rango" para descubrir cada número feliz del 1 al N.
3. Analiza resultados: Haz clic en "Comprobar número" para ver la secuencia completa de suma de cuadrados de dígitos, el gráfico de trayectoria interactivo y el desglose paso a paso.
4. Explora patrones: Prueba diferentes números para descubrir las relaciones entre los números felices y sus patrones de dígitos.

Números felices menores de 100

Hay exactamente 20 números felices entre 1 y 100:

Propiedades interesantes de los números felices

Invarianza por permutación de dígitos

Si un número es feliz, cualquier reordenamiento de sus dígitos también lo es. Por ejemplo, como el 19 es feliz, el 91 también lo es. Del mismo modo, el 13 y el 31 son ambos felices.

Invarianza por inserción de ceros

Insertar o eliminar ceros no cambia el hecho de que un número sea feliz. Dado que 19 es feliz, 109, 190, 1009, 1090 también lo son.

Primos felices

Un primo feliz es un número que es a la vez feliz y primo. Los primeros primos felices son: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. Los primos felices han despertado el interés de la teoría de números e incluso han sido mencionados en la cultura popular.

Densidad de los números felices

La densidad de los números felices entre todos los números enteros positivos es de aproximadamente el 14,3%. Esto significa que aproximadamente 1 de cada 7 números enteros positivos es feliz. Curiosamente, esta densidad se mantiene bastante constante en diferentes rangos.

Números felices en diferentes bases

El concepto de números felices puede extenderse a otras bases numéricas. En una base \(b\), un número es feliz si la suma iterada de los cuadrados de sus dígitos en base \(b\) llega a 1. Las propiedades y las estructuras de los ciclos varían significativamente entre bases:

• Base 2: Solo las potencias de 2 son felices (1, 2, 4, 8, 16, ...)
• Base 4: El 1 es el único número feliz
• Base 10: El conjunto familiar con una densidad aproximada del 14,3%

Aspectos computacionales

Para cualquier número de \(d\) dígitos, la suma de los cuadrados de sus dígitos es como máximo \(81d\) (cuando todos los dígitos son 9). Esto significa que:

• Un número de 1 dígito se mapea como máximo a 81
• Un número de 3 dígitos (hasta 999) se mapea como máximo a 243
• Cualquier número por encima de 999 se mapea inmediatamente a un número menor

Esto garantiza que la secuencia siempre acabe entrando en un ciclo o llegando a 1, haciendo que el algoritmo termine siempre.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un número feliz?

Un número feliz es un número entero positivo que finalmente llega a 1 cuando se reemplaza repetidamente por la suma de los cuadrados de sus dígitos. Por ejemplo, el 19 es feliz porque: 1² + 9² = 82, luego 8² + 2² = 68, luego 6² + 8² = 100, luego 1² + 0² + 0² = 1. Los números que nunca llegan a 1 se denominan números infelices o tristes.

¿Qué ocurre con los números infelices?

Los números infelices (o tristes) nunca llegan a 1. En su lugar, acaban entrando en un ciclo infinito: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Todo número que no sea feliz acabará entrando en este mismo ciclo de 8 números.

¿Cuáles son todos los números felices menores de 100?

Los números felices menores de 100 son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97. Eso son 20 números felices de 100, o exactamente el 20%.

¿Existe un patrón para los números felices?

Los números felices comparten propiedades interesantes: cualquier permutación de los dígitos de un número feliz también es feliz (por ejemplo, 19 y 91 son ambos felices). Además, insertar o eliminar ceros no cambia la felicidad (por ejemplo, 19, 109, 190 son todos felices). La densidad de los números felices es de aproximadamente el 14,3% entre todos los números enteros positivos.

¿Quién descubrió los números felices?

Los números felices fueron estudiados por primera vez por Reg Allenby en 1966. El concepto ganó popularidad a través de las matemáticas recreativas. El término "número feliz" se atribuye a un joven estudiante que llevó la idea a matemáticos de Cambridge.

¿Cómo se utilizan los números felices en las matemáticas?

Los números felices aparecen en la teoría de números, las matemáticas recreativas y se utilizan como ejercicios de programación. Conectan con conceptos como puntos fijos, ciclos en funciones iteradas y secuencias basadas en dígitos. Los primos felices (números que son a la vez felices y primos) son de especial interés en la investigación matemática.

Recursos adicionales

• Número feliz - Wikipedia
• OEIS A007770 - Números felices (en inglés)