Calculadora de Diagonalização de Matriz

Calculadora de Diagonalização de Matriz

A Calculadora de Diagonalização de Matriz decompõe qualquer matriz quadrada na forma A = PDP⁻¹, onde D é uma matriz diagonal de autovalores e P é a matriz de autovetores. Insira uma matriz de 2×2 a 5×5 e obtenha a fatoração completa com soluções passo a passo, polinômio característico, análise de multiplicidade algébrica e geométrica e animação interativa da decomposição.

O Que É Diagonalização de Matriz?

A diagonalização de matriz é o processo de encontrar as matrizes P e D tais que:

$$A = PDP^{-1}$$

onde D é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A, e P é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores correspondentes. Equivalentemente, \(D = P^{-1}AP\), o que significa que D é semelhante a A.

Como Diagonalizar uma Matriz

Passo 1. Selecione o tamanho da matriz (2×2 a 5×5) e insira os valores na grade. Você também pode clicar em um exemplo rápido para carregar uma matriz predefinida para teste.

Passo 2. Clique em Diagonalizar Matriz. A calculadora calcula o polinômio característico det(A − λI) e encontra suas raízes (autovalores).

Passo 3. Para cada autovalor, a ferramenta resolve (A − λI)x = 0 para encontrar os autovetores e verifica a multiplicidade algébrica vs. geométrica para determinar se a matriz é diagonalizável.

Passo 4. Se for diagonalizável, a calculadora constrói P (autovetores como colunas), D (autovalores na diagonal) e P⁻¹, e então verifica se PDP⁻¹ = A.

Passo 5. Explore a animação de decomposição para visualizar como A se fatora em P × D × P⁻¹ e percorra a solução completa usando os controles de navegação.

Quando uma Matriz é Diagonalizável?

Multiplicidade Algébrica vs. Geométrica

Para cada autovalor λ:

• Multiplicidade algébrica (MA): o número de vezes que λ aparece como raiz do polinômio característico det(A − λI) = 0.

• Multiplicidade geométrica (MG): a dimensão do autoespaço ker(A − λI), ou seja, o número de autovetores linearmente independentes.

Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, MG = MA para cada autovalor. A condição 1 ≤ MG ≤ MA sempre é válida.

Por Que a Diagonalização é Importante

Diagonalização vs. Outras Decomposições

Perguntas Frequentes

O que significa diagonalizar uma matriz?

Diagonalizar uma matriz A significa encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que A = PDP⁻¹. As entradas diagonais de D são os autovalores, e as colunas de P são os autovetores correspondentes.

Quando uma matriz é diagonalizável?

Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica. Equivalentemente, deve haver n autovetores linearmente independentes para uma matriz n×n. Todas as matrizes reais simétricas e todas as matrizes com n autovalores distintos são diagonalizáveis.

Qual é a diferença entre multiplicidade algébrica e geométrica?

A multiplicidade algébrica é quantas vezes um autovalor aparece como raiz do polinômio característico. A multiplicidade geométrica é a dimensão do autoespaço, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para aquele autovalor. Uma matriz é diagonalizável precisamente quando essas duas quantidades são iguais para cada autovalor.

Uma matriz com autovalores complexos pode ser diagonalizada?

Sim, uma matriz com autovalores complexos ainda pode ser diagonalizada sobre os números complexos, desde que a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica para cada autovalor. As matrizes P e D resultantes conterão entradas complexas.

Quais são as aplicações da diagonalização de matrizes?

A diagonalização de matrizes é usada para calcular potências de matrizes de forma eficiente (A^k = PD^kP⁻¹), resolver sistemas de equações diferenciais, analisar cadeias de Markov e comportamento de estado estacionário, realizar análise de componentes principais em estatística e compreender transformações lineares em física e engenharia.