辛普森法則計算機

使用辛普森 1/3 法則、3/8 法則和複合辛普森法則來近似定積分。具備互動式拋物線視覺化、誤差估計、收斂分析、方法比較以及詳細的 MathJax 逐步解題過程。

辛普森法則計算機

辛普森法則計算機是一款功能強大的數值積分工具，它通過在樣本點之間擬合拋物線（1/3 法則）或三次曲線（3/8 法則）來近似定積分。與使用點之間直線的梯形法則不同，辛普森法則捕捉了函數的曲率，提供了 O(h⁴) 的精確度，這使其成為微積分、工程和科學計算中最廣泛使用的方法之一。

主要功能

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雙重法則支援

在辛普森 1/3 法則（二次插值，n 為偶數）和 3/8 法則（三次插值，n 為 3 的倍數）之間進行選擇。兩者都提供完整的 MathJax 逐步解題過程。

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互動式視覺化

查看在曲線下繪製的拋物線段。懸停以突出顯示各個分段並查看其面積。觀看收斂動畫或使用滑桿探索不同的 n 值。

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方法比較

針對相同的函數和範圍，自動並排比較辛普森 1/3、3/8、梯形和中點法則的結果。查看哪種方法提供的近似值最好。

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誤差分析

使用四階導數自動計算誤差界限。誤差公式 $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ 會告訴您近似值的精確程度。

如何使用辛普森法則計算機

輸入您的函數 — 輸入數學表達式 f(x)，如 x^2、sin(x)、exp(-x^2) 或支援函數的任何組合。
設置積分範圍 — 輸入下限 (a) 和上限 (b)，並選擇子區間數 (n)。
選擇法則 — 選擇辛普森 1/3 法則（需要 n 為偶數，若為奇數會自動調整）或 3/8 法則（需要 n 為 3 的倍數，會自動調整）。
點擊計算 — 工具將計算近似值，並顯示由 MathJax 渲染的完整逐步解題過程。
探索結果 — 與拋物線視覺化進行互動、查看分段面積、比較方法並研究收斂性分析。

辛普森 1/3 法則詳解

複合辛普森 1/3 法則將 [a, b] 分為 n 個相等的子區間（n 必須為偶數），並通過每三個連續點擬合一條拋物線：

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

其中 $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $。係數遵循 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 的模式。每對子區間都使用一個通過三個點的二次多項式，這比線性插值能更好地捕捉函數的曲率。

辛普森 3/8 法則詳解

3/8 法則在每三個子區間一組的基礎上使用三次插值（n 必須能被 3 整除）：

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

係數遵循 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 的模式。雖然兩種法則都能達到 O(h⁴) 的精確度，但當 n 不是偶數時，3/8 法則很有用。

誤差比較

方法	誤差階數	誤差界限	對於...是精確的
梯形法則	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	線性函數
辛普森 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	三次及以下函數
辛普森 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	三次及以下函數

將 n 加倍可使辛普森法則的誤差減少約 16 倍，而梯形法則僅減少 4 倍。這使得辛普森法則對於平滑函數的收斂速度快得多。

何時使用各個法則

辛普森 1/3 法則 — 最適合大多數應用。當 n 為偶數（或可以設為偶數）時使用。在三種基本的 Newton-Cotes 公式中，每次函數評估最為精確。
辛普森 3/8 法則 — 當 n 為 3 的倍數但不是偶數時使用。在複合公式中，與 1/3 法則結合處理奇數子區間數也很有用。
梯形法則 — 當數據點間隔不均勻、n 為較小的奇數或簡單性比精確度更重要時首選。對於高階導數不連續的函數，效果也較好。

支援的函數

此計算機支援廣泛的數學函數：

多項式: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
三角函數: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
指數/對數: exp(x), ln(x), log(x)
根號: sqrt(x)
常數: pi, e
組合: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

常見問題

什麼是辛普森法則？

辛普森法則是一種數值積分方法，通過在樣本點之間擬合拋物線（或三次曲線）來近似定積分。對於平滑函數，它比梯形法則精確得多，誤差階數為 O(h⁴)，而梯形法則為 O(h²)。

辛普森 1/3 和 3/8 法則有什麼區別？

辛普森 1/3 法則在每對子區間上使用二次（拋物線）插值，並且需要偶數個子區間。辛普森 3/8 法則在每三個子區間上使用三次插值，並且需要 n 能被 3 整除。在相同的 n 下，1/3 法則通常更精確，但當 n 不是偶數時，3/8 法則很有用。

為什麼辛普森 1/3 法則需要偶數個子區間？

辛普森 1/3 法則的工作原理是通過三個連續點（一次兩個子區間）擬合一條拋物線。由於每個拋物線段恰好跨越 2 個子區間，因此子區間的總數必須為偶數才能完全覆蓋。

與梯形法則相比，辛普森法則有多精確？

辛普森 1/3 法則的誤差為 O(h⁴)，而梯形法則為 O(h²)。這意味著將子區間數量加倍，辛普森法則的誤差會減少約 16 倍，而梯形法則僅減少 4 倍。對於平滑函數，辛普森法則明顯更精確。

我可以在計算機中輸入哪些函數？

您可以輸入多項式如 x^2 或 x^3-2x+1，三角函數如 sin(x) 和 cos(x)，指數和對數函數如 exp(x) 和 ln(x)，根號如 sqrt(x) 以及組合函數。也支援常數 pi 和 e。使用 ^ 表示指數，並使用標準函數表示法。

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由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-05

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