เครื่องมือแสดงภาพวงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ

เกี่ยวกับ เครื่องมือแสดงภาพวงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องมือแสดงภาพวงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ เครื่องมือนี้ช่วยให้เข้าใจความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างมุมและฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างเป็นรูปธรรม การแสดงผลแบบไดนามิกนี้จะแสดงให้เห็นว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันผกผันเชื่อมโยงกับจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยอย่างไร

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร?

วงกลมหนึ่งหน่วย คือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นพื้นฐานสำคัญของตรีโกณมิติและใช้ในการตีความค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติในเชิงเรขาคณิต

• รัศมี: มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ
• จุดศูนย์กลาง: อยู่ที่ (0, 0)
• สมการ: $$x^2 + y^2 = 1$$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วย

สำหรับมุม $\theta$ ที่วัดจากแกน X บวก จุด P บนวงกลมหนึ่งหน่วยจะมีพิกัดดังนี้:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก

• ไซน์ (sin): $$\sin\theta = y$$
• โคไซน์ (cos): $$\cos\theta = x$$
• แทนเจนต์ (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• โคซีแคนต์ (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ (ไม่กำหนดเมื่อ $\sin\theta = 0$)
• ซีแคนต์ (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ (ไม่กำหนดเมื่อ $\cos\theta = 0$)
• โคแทนเจนต์ (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

มุมสำคัญและค่าที่ควรรู้

บนวงกลมหนึ่งหน่วยมีมุมสำคัญหลายจุดที่ควรจดจำ โดยเฉพาะมุมที่เป็นผลคูณของ 30 และ 45 องศา:

องศา	เรเดียน	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	ไม่กำหนด
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	ไม่กำหนด

สี่ควอแดรนต์

ระนาบพิกัดแบ่งออกเป็นสี่ควอแดรนต์ ซึ่งเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะแตกต่างกันในแต่ละควอแดรนต์:

• ควอแดรนต์ที่ 1 (0–90°): ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นบวก (A)
• ควอแดรนต์ที่ 2 (90–180°): มีเพียง sin และ csc ที่เป็นบวก (S)
• ควอแดรนต์ที่ 3 (180–270°): มีเพียง tan และ cot ที่เป็นบวก (T)
• ควอแดรนต์ที่ 4 (270–360°): มีเพียง cos และ sec ที่เป็นบวก (C)

คำช่วยจำภาษาอังกฤษ: ASTC – "All Students Take Calculus"

วิธีใช้งานเครื่องมือนี้

1. กรอกค่ามุมในช่องป้อนข้อมูล
2. เลือกว่ามุมอยู่ในหน่วยองศาหรือเรเดียน
3. คลิกปุ่ม "คำนวณ" เพื่อแสดงภาพและค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด
4. ใช้ลิงก์มุมตัวอย่างที่เตรียมไว้เพื่อเลือกมุมยอดนิยมอย่างรวดเร็ว

ทำความเข้าใจภาพแสดงผล

แผนภาพเชิงโต้ตอบจะแสดง:

• วงกลมสีน้ำเงิน: วงกลมหนึ่งหน่วยที่มีรัศมี 1
• จุดสีแดง: จุดบนวงกลมที่สอดคล้องกับมุมที่เลือก
• เส้นสีเขียว: แสดงค่า cos หรือระยะทางในแนวนอนจากจุดกำเนิด
• เส้นสีน้ำเงิน: แสดงค่า sin หรือระยะทางในแนวตั้งจากจุดกำเนิด
• ส่วนโค้งสีส้ม: ส่วนโค้งของมุมวัดจากแกน X บวก
• เส้นประสีม่วง: แสดงเส้นสัมผัส (แทนเจนต์)

การประยุกต์ใช้วงกลมหนึ่งหน่วย

• ฟิสิกส์: การเคลื่อนที่แบบคลื่น การสั่น การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
• วิศวกรรม: การประมวลผลสัญญาณ วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ กลศาสตร์การหมุน
• กราฟิกคอมพิวเตอร์: การหมุน วงจรแอนิเมชัน และการพัฒนาเกม
• การนำทาง: การคำนวณ GPS และงานสำรวจ
• ดนตรี: การวิเคราะห์คลื่นเสียงและการสังเคราะห์เสียง

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - วิกิพีเดีย
• Unit Circle - Wolfram MathWorld
• Unit Circle - Wikipedia (ภาษาอังกฤษ)