발산 계산기

발산 계산기 정보

발산 계산기는 모든 2D 또는 3D 벡터장의 발산 ∇·F를 단계별 편미분 계산과 함께 구합니다. 벡터장 성분 P, Q(3D의 경우 R 포함)를 입력하고, 선택적으로 특정 지점을 지정하면 기호 발산 결과, 소스/싱크 분류, 그리고 2D 장의 경우 발산 히트맵과 애니메이션 입자 흐름이 포함된 대화형 시각화 결과를 제공합니다.

발산이란 무엇입니까?

벡터장 \(\mathbf{F}\)의 발산(Divergence)은 장이 한 지점으로부터 "퍼져 나가는" 정도를 측정하는 스칼라 값 연산자입니다. 3D 벡터장 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\)의 경우 다음과 같습니다:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

2D 장 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\)의 경우 발산은 \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)입니다. 발산은 벡터 미적분학, 유체 역학, 전자기학 및 미분 방정식에서 핵심적인 개념입니다.

발산의 물리적 의미

좌표계별 발산 공식

발산과 관련된 주요 항등식

발산의 응용

발산 계산기 사용 방법

1. 차원 선택: 토글 버튼을 사용하여 F = ⟨P, Q⟩인 2D 필드 또는 F = ⟨P, Q, R⟩인 3D 필드를 선택합니다.
2. 성분 함수 입력: 각 성분 함수(P, Q 및 선택 사항인 R)를 표준 표기법으로 입력합니다. 지수는 ^, 곱셈은 *를 사용하며 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x)와 같은 함수를 사용할 수 있습니다. 암시적 곱셈(예: 2x = 2*x)도 지원됩니다.
3. 계산 지점 입력 (선택 사항): 수치적으로 발산을 계산하고 해당 지점을 소스, 싱크 또는 비압축성으로 분류하려면 쉼표로 구분된 좌표를 제공합니다.
4. 발산 계산 클릭: 기호 발산 공식, 단계별 편미분 계산 과정, 수치 평가 및 소스/싱크 분류 결과를 확인합니다.
5. 시각화 탐색: 2D 장의 경우, 색상으로 구분된 발산 히트맵(빨간색 = 소스, 파란색 = 싱크)과 장의 거동을 보여주는 애니메이션 입자 흐름이 포함된 벡터장 화살표를 확인합니다.

풀이 예시

지점 \((1, 1)\)에서 \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle\)의 발산을 구합니다.

단계 1: 성분 식별: \(P = x\), \(Q = y\).

단계 2: 편미분 계산: \(\frac{\partial P}{\partial x} = 1\), \(\frac{\partial Q}{\partial y} = 1\).

단계 3: 합산: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2\).

해석: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0\)이므로 모든 지점은 소스입니다. 이 장은 균일하게 외부로 확장됩니다. 평면의 모든 곳에서 유체가 뿜어져 나오는 상황을 상상해 보십시오.

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