方向導数電卓
多変数関数の方向導数を計算します。ステップバイステップの解決策、勾配の計算、単位ベクトルの正規化、およびインタラクティブな3D曲面の可視化機能が含まれています。
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方向導数電卓
方向導数電卓へようこそ。これは、あらゆる指定された方向における関数の変化率を計算する、強力な多変数解析ツールです。この電卓は、包括的なステップバイステップの解決策、勾配ベクトルの計算、単位ベクトルの正規化、およびインタラクティブな3D可視化を提供し、講義、研究、または実務における方向導数の習得をサポートします。
方向導数とは何ですか？
方向導数は、特定の方向に沿って移動した際、多変数関数が特定の点でどれだけ速く変化するかを測定するものです。偏導関数（座標軸に沿った変化のみを測定）とは異なり、方向導数を使用すると、選択した任意の方向における関数の挙動を分析できます。
勾配ベクトル（グラディエント）
勾配 $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ は、最も急峻な上昇方向を指します。その大きさは最大変化率に等しくなります。
単位方向ベクトル
単位ベクトル $\mathbf{u}$ は大きさが 1 です。単位距離あたりの変化率の測定を標準化するために、方向ベクトルを正規化します。
内積
方向導数は、勾配と単位ベクトルの内積に等しくなります：$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$。これにより、勾配が指定された方向に投影されます。
方向導数の公式
各記号の意味：
- $D_{\mathbf{u}}f$ = 方向 $\mathbf{u}$ における方向導数
- $\nabla f$ = 勾配ベクトル $\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
- $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ = 指定された方向の単位ベクトル
- $(x_0, y_0)$ = 導関数を評価する点
この電卓の使い方
- 関数を入力する： 標準的な数学記法を使用して関数 $f(x, y)$ を入力します。指数には ** を使用してください（例：$x^2$ の場合は x**2）。
- 変数を指定する： 変数名をカンマで区切って入力します（デフォルト：x, y）。
- 点を入力する： 導関数を計算したい点の座標 $(x_0, y_0)$ をカンマで区切って入力します。
- 方向ベクトルを入力する： 方向ベクトルの成分 $(a, b)$ を入力します。電卓が自動的に単位ベクトルに正規化します。
- 計算する： ボタンをクリックすると、詳細なステップバイステップの解決策と3D可視化を伴う方向導数が表示されます。
関数入力の構文
| 操作 | 構文 | 例 |
|---|---|---|
| 指数 | ** | $x^2$ は x**2 |
| 掛け算 | * または省略 | 2*x または 2x |
| 三角関数 | sin, cos, tan | sin(x*y) |
| 指数関数 | e** または exp() | e**(x*y) |
| 自然対数 | ln() または log() | ln(x + y) |
| 平方根 | sqrt() | sqrt(x**2 + y**2) |
方向導数の理解
幾何学的解釈
$z = f(x, y)$ で定義される曲面上に立っている自分を想像してください。方向導数は、特定の方向に歩いたときに、その面がどれだけ急に上昇または下降するかを示します。勾配ベクトルは、最も急な登り方向（スキー場のフォールラインを逆に辿るような方向）を指します。
主な性質
- 最大値： 方向導数は、$\mathbf{u}$ が $\nabla f$ と同じ方向を向いているときに最大になります。最大値は $\|\nabla f\|$ です。
- 最小値： 方向導数は、$\mathbf{u}$ が $\nabla f$ と逆方向を向いているときに最小（最も負）になります。最小値は $-\|\nabla f\|$ です。
- ゼロ値： $\mathbf{u}$ が $\nabla f$ と垂直なとき、方向導数はゼロになります。これは等高線に沿って移動していることを意味します。
- 符号の解釈： 正の値はその方向で関数が増加することを、負の値は減少することを意味します。
単位ベクトルの正規化
方向ベクトル $\mathbf{v} = (a, b)$ が与えられたとき、対応する単位ベクトルは以下の通りです：
方向導数の応用
- 最適化： 勾配法アルゴリズムにおける最急上昇・降下方向の特定
- 物理学： 熱流、電位勾配、流体力学の分析
- 機械学習： 勾配降下法（損失関数を最小化するために方向導数を使用）
- 経済学： 多変数生産関数や効用関数における限界分析
- 地理学： 地形の傾斜角と方位の計算
- 工学： 応力解析と構造最適化
よくある質問
方向導数とは何ですか？
方向導数は、多変数関数が特定の方向に沿って変化する割合を測定するものです。点 $(x_0,y_0)$ における関数 $f(x,y)$ について、単位ベクトル $\mathbf{u}$ の方向への方向導数は、勾配と単位ベクトルの内積（$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$）に等しくなります。これは、その点から指定された方向に移動したときに関数がどれだけ速く増加または減少するかを示します。
方向導数はどのように計算しますか？
方向導数の計算手順：(1) 各変数で偏微分して勾配 $\nabla f$ を求める、(2) 与えられた点での勾配の値を計算する、(3) 方向ベクトルを正規化して単位ベクトル $\mathbf{u}$ を求める、(4) 勾配と単位ベクトルの内積をとる。公式は $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$ です。
関数の勾配（グラディエント）とは何ですか？
スカラー関数 $f(x,y)$ の勾配は、すべての偏微分を含むベクトル $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ です。これは関数の最大増加率の方向を指し、その大きさはその点における最大方向導数に等しくなります。
なぜ方向導数に単位ベクトルが必要なのですか？
変化率の測定を標準化するために、単位ベクトル（大きさ = 1）を使用します。正規化を行わないと、方向導数は単なる方向だけでなくベクトルの長さにも依存してしまいます。単位ベクトルを使用することで、その方向に沿って移動した単位距離あたりの変化率を確実に測定できます。
方向導数が正または負であることは何を意味しますか？
方向導数が正の場合、その点からその方向に移動すると関数が増加することを意味します。負の値は関数が減少することを意味します。方向導数がゼロの場合、その方向では関数が増加も減少もしないこと（等高線の接線方向）を示します。
方向導数が最大になるのはどの方向ですか？
方向導数は勾配ベクトル $\nabla f$ と同じ方向で最大になります。最大値は勾配の大きさ $\|\nabla f\|$ に等しくなります。逆に、最小の方向導数は反対方向 $(-\nabla f)$ で発生し、値は $-\|\nabla f\|$ となります。
参考リソース
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"方向導数電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/方向導数電卓/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
miniwebtool チームによる作成。最終更新日：2026年1月27日
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