Calcolatore di raggio di convergenza

Q: Cos'è il raggio di convergenza?

Il raggio di convergenza R di una serie di potenze è la distanza dal centro della serie al confine della regione in cui la serie converge. Per una serie di potenze centrata in a, la serie converge assolutamente quando |x - a| R. R può essere 0 (converge solo al centro), un numero positivo o infinito (converge ovunque).

Q: Qual è la differenza tra il Criterio del Rapporto e il Criterio della Radice?

Entrambi i test determinano il raggio di convergenza ma utilizzano approcci diversi. Il Criterio del Rapporto calcola il limite di |a_{n+1}/a_n|, mentre il Criterio della Radice calcola il limite di |a_n|^(1/n). Il Criterio della Radice è talvolta più potente (funziona ogni volta che funziona il Criterio del Rapporto, più alcuni casi in cui quest'ultimo fallisce), ma il Criterio del Rapporto è spesso più facile da calcolare per espressioni che coinvolgono fattoriali.

Q: Il raggio di convergenza ci dà informazioni sugli estremi?

No. Il raggio di convergenza ci parla solo della convergenza assoluta all'interno dell'intervallo e della divergenza all'esterno. Agli estremi x = a - R e x = a + R, la serie può convergere o divergere, e ogni estremo deve essere testato separatamente utilizzando altri test come il Criterio di Leibniz per le serie alternate, il test della serie p o il Criterio del Confronto.

Q: Quali sono le serie di potenze comuni e i loro raggi di convergenza?

Esempi comuni includono: e^x ha R = infinito; sin(x) e cos(x) hanno R = infinito; 1/(1-x) (serie geometrica) ha R = 1; ln(1+x) ha R = 1; la somma della serie x^n/n! ha R = infinito; e la somma di n!*x^n ha R = 0.

Determina il raggio e l'intervallo di convergenza per le serie di potenze utilizzando il test del rapporto o il test della radice, con soluzioni passo-passo, visualizzazione della convergenza e analisi degli estremi.

Calcolatore di raggio di convergenza

Prova serie di esempio:

Serie e^x ln(1+x) n^2/3^n Coefficienti

Modalità di Input

Termine Generale $ a_n $

Espressione in n (e opzionalmente x). Esempi: 1/factorial(n), (-1)**n/(n+1), n**2/3**n

Coefficienti $ a_0, a_1, a_2, \ldots $

Valori separati da virgole. Sono necessari almeno 3 coefficienti. Esempio: 1, -1/2, 1/3, -1/4

Centro $ c $

Il centro della serie di potenze (predefinito: 0)

Test di Convergenza

Suggerimento: Usa il Criterio del Rapporto per serie con fattoriali. Usa il Criterio della Radice per serie con potenze n-esime. Vedi il nostro Calcolatore di serie di Taylor per espandere le funzioni in serie di potenze.

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Calcolatore di raggio di convergenza

Benvenuto nel Calcolatore di raggio di convergenza, uno strumento completo per l'analisi della convergenza delle serie di potenze. Che tu stia studiando analisi matematica, preparandoti per gli esami o facendo ricerca scientifica, questo calcolatore determina il raggio e l'intervallo di convergenza utilizzando il Criterio del Rapporto o il Criterio della Radice, fornendo soluzioni dettagliate passo dopo passo con notazione matematica.

Cos'è il raggio di convergenza?

Il raggio di convergenza $ R $ di una serie di potenze $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n $ è il numero reale esteso non negativo tale che la serie converge assolutamente per $ |x - c| < R $ e diverge per $ |x - c| > R $. Al confine $ |x - c| = R $, la convergenza deve essere verificata separatamente in ciascun estremo.

Il raggio di convergenza definisce un intervallo simmetrico attorno al centro $ c $ all'interno del quale la serie di potenze rappresenta una funzione ben definita. Questo concetto è fondamentale nell'analisi, nelle equazioni differenziali e in molte aree della matematica applicata.

Forma generale della serie di potenze

Serie di potenze

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \cdots$$

Metodi per trovare il raggio di convergenza

Il Criterio del Rapporto

Il metodo più comunemente usato. Calcola il limite:

Formula del Criterio del Rapporto

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$$

Il Criterio del Rapporto è particolarmente efficace quando il termine generale coinvolge fattoriali, esponenziali o prodotti. Confronta direttamente il tasso di crescita dei termini consecutivi.

Il Criterio della Radice (Teorema di Cauchy-Hadamard)

Un'alternativa che a volte è più potente:

Formula del Criterio della Radice

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

Il Criterio della Radice è particolarmente utile quando il termine generale coinvolge potenze n-esime come $ a_n = r^n $ o espressioni in cui il rapporto tra termini consecutivi è difficile da semplificare.

Come usare questo calcolatore

Scegli la modalità di input: Inserisci il termine generale $ a_n $ come espressione matematica, oppure fornisci un elenco di coefficienti.
Specifica il centro: Inserisci il centro $ c $ della tua serie di potenze (il valore predefinito è 0 per le serie di Maclaurin).
Seleziona il test: Scegli tra il Criterio del Rapporto o della Radice in base alla forma della tua serie.
Calcola: Fai clic sul pulsante per vedere il raggio di convergenza, l'intervallo di convergenza, la derivazione passo dopo passo e la visualizzazione della convergenza.

Comprendere i risultati

Tre possibili esiti

$ R = \infty $: La serie converge per tutti i numeri reali $ x $. Gli esempi includono $ e^x, \sin(x), \cos(x) $.
$ 0 < R < \infty $: La serie converge nell'intervallo aperto $ (c - R, c + R) $ e diverge all'esterno. Gli estremi richiedono un'analisi separata.
$ R = 0 $: La serie converge solo nel centro $ x = c $. Esempio: $ \sum n! \cdot x^n $.

Analisi degli estremi

Quando $ 0 < R < \infty $, i criteri del Rapporto e della Radice non sono conclusivi per $ x = c \pm R $. Sono necessari test aggiuntivi:

Criterio di Leibniz: Per serie con segni alternati agli estremi
Test della serie p: Confronto con $ \sum 1/n^p $
Criterio del Confronto: Confronto con una serie nota convergente o divergente
Test di divergenza: Se i termini non tendono a zero, la serie diverge

Serie di potenze comuni e loro raggi

Funzione	Serie di potenze	Raggio R	Intervallo
$ e^x $	$ \sum \frac{x^n}{n!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \sin(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \cos(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \frac{1}{1-x} $	$ \sum x^n $	$ 1 $	$ (-1, 1) $
$ \ln(1+x) $	$ \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $	$ 1 $	$ (-1, 1] $
$ \arctan(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $	$ 1 $	$ [-1, 1] $
$ (1+x)^\alpha $	$ \sum \binom{\alpha}{n} x^n $	$ 1 $	Dipende da $ \alpha $

Quando usare ogni test

Usa il Criterio del Rapporto quando:

Il termine generale contiene fattoriali (ad es., $ n! $, $ (2n)! $)
Il termine coinvolge prodotti di interi sequenziali
Puoi semplificare facilmente il rapporto $ a_{n+1}/a_n $

Usa il Criterio della Radice quando:

Il termine generale ha la forma $ (f(n))^n $
Il termine coinvolge potenze n-esime che si semplificano sotto radici n-esime
Il Criterio del Rapporto è inconcludente (entrambi i test concordano quando funzionano entrambi, ma il Criterio della Radice è strettamente più potente)

Guida alla sintassi di input

Potenze: Usa ** o ^ (ad es., n**2 o n^2)
Fattoriale: Usa factorial(n) (ad es., 1/factorial(n))
Funzioni comuni: sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt
Costanti: pi, e
Variabile: Usa n per la variabile indice, x per la variabile della serie

Domande frequenti

Cos'è il raggio di convergenza?

Il raggio di convergenza R di una serie di potenze è la distanza dal centro della serie al confine della regione in cui la serie converge. Per una serie di potenze centrata in a, la serie converge assolutamente quando |x - a| < R e diverge quando |x - a| > R. R può essere 0 (converge solo al centro), un numero positivo o infinito (converge ovunque).

Come si trova il raggio di convergenza usando il Criterio del Rapporto?

Per trovare il raggio di convergenza usando il Criterio del Rapporto: calcola L = lim(n che tende a infinito) |a_{n+1}/a_n|. Il raggio di convergenza è R = 1/L. Se L = 0, R = infinito (converge ovunque). Se L = infinito, R = 0 (converge solo al centro). La serie converge assolutamente quando |x - a| < R.

Qual è la differenza tra il Criterio del Rapporto e il Criterio della Radice?

Entrambi i test determinano il raggio di convergenza ma utilizzano approcci diversi. Il Criterio del Rapporto calcola il limite di |a_{n+1}/a_n|, mentre il Criterio della Radice calcola il limite di |a_n|^(1/n). Il Criterio della Radice è talvolta più potente (funziona ogni volta che funziona il Criterio del Rapporto, più alcuni casi in cui non funziona), ma il Criterio del Rapporto è spesso più facile da calcolare per espressioni che coinvolgono fattoriali.

Il raggio di convergenza ci dà informazioni sugli estremi?

No. Il raggio di convergenza ci informa solo sulla convergenza assoluta all'interno dell'intervallo e sulla divergenza all'esterno. Agli estremi x = a - R e x = a + R, la serie può convergere o divergere, e ogni estremo deve essere testato separatamente utilizzando altri test come il Criterio di Leibniz, il test della serie p o il Criterio del Confronto.

Quali sono le serie di potenze comuni e i loro raggi di convergenza?

Esempi comuni includono: e^x ha R = infinito; sin(x) e cos(x) hanno R = infinito; 1/(1-x) (serie geometrica) ha R = 1; ln(1+x) ha R = 1; la somma della serie x^n/n! ha R = infinito; e la somma di n!*x^n ha R = 0.

Risorse aggiuntive

Cita questo contenuto, pagina o strumento come:

"Calcolatore di raggio di convergenza" su https://MiniWebtool.com/it// di MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

dal team miniwebtool. Aggiornato: 18 feb 2026

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Funzione	Serie di potenze	Raggio R	Intervallo
\( e^x \)	\( \sum \frac{x^n}{n!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \sin(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \cos(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \frac{1}{1-x} \)	\( \sum x^n \)	\( 1 \)	\( (-1, 1) \)
\( \ln(1+x) \)	\( \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \)	\( 1 \)	\( (-1, 1] \)
\( \arctan(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \)	\( 1 \)	\( [-1, 1] \)
\( (1+x)^\alpha \)	\( \sum \binom{\alpha}{n} x^n \)	\( 1 \)	Dipende da \( \alpha \)

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Forma generale della serie di potenze

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Il Criterio del Rapporto

Il Criterio della Radice (Teorema di Cauchy-Hadamard)

Come usare questo calcolatore

Comprendere i risultati

Tre possibili esiti

Analisi degli estremi

Serie di potenze comuni e loro raggi

Quando usare ogni test

Usa il Criterio del Rapporto quando:

Usa il Criterio della Radice quando:

Guida alla sintassi di input

Domande frequenti

Cos'è il raggio di convergenza?

Come si trova il raggio di convergenza usando il Criterio del Rapporto?

Qual è la differenza tra il Criterio del Rapporto e il Criterio della Radice?

Il raggio di convergenza ci dà informazioni sugli estremi?

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