3D曲面繪圖器
以滑鼠驅動旋轉、縮放與平移，繪製互動式 3D 曲面 z = f(x, y)。可調整 x/y 定義域、網格解析度、六種色彩映射、線框疊加和光照。在您的瀏覽器中探索鞍點、高斯突起、漣漪、猴鞍、雙曲拋物面以及著名的墨西哥帽 sinc 曲面 — 全在您的瀏覽器中，無需任何外掛程式。
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3D曲面繪圖器
3D曲面繪圖器直接在您的瀏覽器中將任何二元函數 \( z = f(x, y) \) 繪製為完全互動式的 3D 地形景觀。在視埠內拖曳以旋轉曲面、滾動或捏合以縮放，以及按住右鍵拖曳（或在行動裝置上雙指平移）以滑動檢視。輸入您自己的函數，完全支援 sin、cos、exp、log、sqrt、常數 \( \pi \) 和 \( e \)，以及符合直覺的便捷輸入如 x^2 或 2xy — 或者點擊十種預設之一，即可立即渲染經典的馬鞍面、拋物面、墨西哥帽 sinc、猴馬鞍面、蛋盒面、高斯隆起等。在等角和透視投影、六種感知色彩映射以及三種線框樣式之間進行選擇，然後將目前視角匯出為高解析度 PNG。
3D 曲面繪圖的工作原理
曲面圖將二元函數轉化為具體的景觀。在輸入平面中的每個點 \( (x, y) \)，值 \( z = f(x, y) \) 成為該點上方（或下方）曲面的高度。繪圖器對 \( (x, y) \) 對的常規網格進行取樣（通常每側 30 到 90 個點），計算每個點的 \( f \) 值，並將網格的每個單元格連接成兩個有色三角形。
渲染使用三個經典的圖形管線步驟。投影：使用您目前的旋轉和縮放將每個 3D 頂點 \( (x, y, z) \) 投影到 2D 螢幕空間。排序：依深度由後到前對三角形進行排序（畫家演算法）。著色：將其高度映射顏色與針對固定光源方向的朗伯點積相結合，來為每個面進行著色。旋轉曲面時，光照會隨相機移動，這正是賦予圖形手工建模質感的關鍵所在。
經典曲面展覽館
此 3D 繪圖器的獨特之處
2xy、x^2 - y^2、sin(x)cos(y)。隱式乘法、脫字號乘方和 Unicode π 都會自動轉換。伺服器端的 AST 白名單意味著使用者輸入永遠不會接觸到不安全的 Python 全域變數。
運算式語法 — 快速參考
| 您輸入的內容 | 意義 | 範例 |
|---|---|---|
x, y | 兩個輸入變數 | z = x + y |
pi 或 π | 常數 π ≈ 3.14159 | z = sin(pi*x) |
e | 歐拉數 ≈ 2.71828 | z = exp(-x**2-y**2) |
sin, cos, tan | 三角函數（弧度） | z = sin(x)*cos(y) |
asin, acos, atan, atan2 | 反三角函數 | z = atan2(y, x) |
exp, log, log2, log10 | 指數與對數 | z = log(x**2 + y**2 + 1) |
sqrt, abs, floor, ceil | 平方根、絕對值與取整 | z = sqrt(abs(x*y)) |
^ 或 ** | 乘方 | z = x^3 - 3*x*y^2 |
隱式 * | 數字緊鄰字母時自動插入 × | 2xy → 2*x*y |
解讀 3D 曲面
曲面圖將海量資訊同時編碼在形狀和顏色中。透過練習，您可以識別出以下幾種模式：
- 臨界點是曲面具有水平切平面的地方 — 局部極大值看起來像圓頂，局部極小值看起來像碗底，而馬鞍點在一個方向上向上彎曲，在垂直方向上向下彎曲。點擊「馬鞍面」預設並旋轉視角：沿著一個軸它是微笑曲線，沿著另一個軸它是哭臉曲線。
- 水平曲線（等高線）會自然出現 — 當色彩映射是漸變或地形風格時，相同顏色的條帶描繪出恆定 \( z \) 值的線條。
- 梯度方向是每個點上最陡峭的上坡方向。在視覺上，那是垂直於水平曲線的方向，指向更暖的顏色。
- 對稱性在 3D 中顯而易見：\( z = x^2 + y^2 \) 是旋轉對稱的（碗狀），\( z = x^2 - y^2 \) 僅具有鏡像對稱性（馬鞍狀），而 \( z = x^3 - 3xy^2 \) 具有美麗的三重旋轉對稱性（猴馬鞍面）。
從馬鞍面到 Sinc：一鍵導覽
預設展覽館是多元曲面教學中最常出現的引導導覽。為初次觀看者建議的順序如下：
- 拋物面 \( z = x^2 + y^2 \) — 最友善的 3D 曲面。一個旋轉對稱的碗狀，在原點處有一個極小值。
- 馬鞍面 \( z = x^2 - y^2 \) — 標誌性的品客洋芋片形狀。嘗試 cool-warm 色彩映射以立即看到正負區分。
- 雙曲拋物面 \( z = xy \) — 旋轉了 45° 的馬鞍面。相同的形狀，不同的方向。
- 猴馬鞍面 \( z = x^3 - 3xy^2 \) — 原點周圍有三個坡度而不是兩個。得名於猴子在這裡坐著時還需要一個放尾巴的地方。
- 高斯曲面 \( z = e^{-(x^2+y^2)} \) — 2D 中的鐘形曲線。統計學、訊號處理和物理學的基礎。
- Mexican-hat sinc \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2}/\sqrt{x^2+y^2} \) — 徑向 sinc。出現在傅立葉光學、繞射圖案以及以此命名的小波中。
- 蛋盒面 \( z = \sin x \sin y \) — 在兩個方向上具有週期性。開啟線框以查看網格線如何與凸起對齊。
- 漣漪 \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2} \) — 從原點擴散的同心波。嘗試較寬的 -8 到 8 定義域。
實際應用
- 多元微積分： 將偏導數、梯度、臨界點和拉格朗日乘子視覺化，無需每次都用手重新繪製。
- 物理學： 位能面、電磁場強度、流體壓力分佈和量子波函數都以 \( z = f(x, y) \) 的形式存在。
- 機器學習： 2D 權重子空間周圍的損失地形（loss landscapes）有助於建立為什麼梯度下降有效的直覺（以及為什麼馬鞍點是一個問題）。
- 電腦圖形學： 地形的高度圖（heightmaps）正是如此 — 在常規網格上對函數 \( h(x, y) \) 進行取樣，然後進行三角剖分。
- 土木工程： 用於地形分析、水壩集水區和土方量估算的高程模型。
- 資料視覺化： 任何取決於兩個獨立變數的量 — 國家的溫度、按地區和月份劃分的銷售額、跨兩個超參數的適應度 — 自然會渲染為曲面。
繪製精美圖表的技巧
- 使定義域與函數相匹配。 多項式通常顯示在 -3 到 3。像 sinc 這樣的振盪函數需要較寬的定義域（-8 到 8）才能展現漣漪。使用 -1 到 1 可以放大到原點附近的單個馬鞍面。
- 選擇正確的色彩映射。 對於任何具有正負區域的曲面，請使用 cool-warm — 白色中點可立即標記零水平面。對於非負曲面，請使用 viridis 或 plasma。對於地形風格的高度圖，請使用 terrain。
- 在作品渲染中關閉線框。 細微的線框非常適合教學（「查看網格」）。對於達到出版品質的圖表，請將線框設定為「關閉」，並將解析度提高到「高」或「超高」。
- 自動旋轉可捕捉豐富的動畫。 點擊「自動旋轉」然後開始螢幕錄製 — 非常適合將旋轉曲面嵌入到簡報中，而無需手動編排。
- 定義域過大可能會使曲面變平。 如果您的函數在邊緣附近返回巨大的值，內部細節就會塌陷。可以縮小定義域 orator 縮放函數（例如 \( z / 100 \)）以將主要結構帶回視野中。
常見問題
什麼是 3D 曲面圖？
3D 曲面圖將二元函數 z = f(x, y) 可視化為 (x, y) 平面上的山巒景觀。每個點 (x, y) 的高度即為函數值 z。繪圖器對 (x, y) 對的網格進行取樣，計算每個點的 f 值，並將相鄰的取樣點連接成一個三角網格，您可以對其進行互動式的旋轉、縮放和重新著色。
我可以繪製哪些函數？
任何使用標準數學函數且包含 x 和 y 的運算式：sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, exp, log, log2, log10, sqrt, abs, floor, ceil, pow, min, max — 以及常數 pi, e 和 tau。三角函數使用弧度。隱式乘法（2x → 2*x）、用於乘方的脫字號 ^ 以及 Unicode π 都會自動處理。
如何旋轉、縮放和平移？
在視埠內按住滑鼠左鍵並拖曳，可圍繞其中心旋轉曲面（偏航角與俯仰角）。滾動滾輪可放大和縮小。右鍵拖曳（或在觸控螢幕上使用雙指平移）可滑動檢視。點擊視埠上方的相機預設按鈕，可快速跳轉到標準等角、頂部、正面或側面視角。
顏色代表什麼？
預設情況下，每個面的顏色代表其 z 軸高度 — 低點使用冷色調，高點使用暖色調。對於像 cool-warm 這樣的漸變調色盤，中點正好是 z = 0，這使得馬鞍面特別容易閱讀。朗伯光照（Lambertian lighting）還會使背對光源的面變暗，從而使曲面呈現立體感。
這在行動裝置上可以用嗎？
可以。視埠支援單指拖曳以旋轉，以及雙指捏合以縮放。在手機上選擇低解析度（30×30）可以獲得最流暢的互動體驗 — 這仍然能提供形狀清晰的曲面。中解析度和高解析度推薦用於筆記型電腦和桌上型電腦。
為什麼我的函數看起來有很多尖刺或不正確？
最常見的原因是定義域太小（導致函數基本上是平的）或太大（導致其值爆炸，只有極值可見）。嘗試為多項式使用較窄的範圍（例如 -2 到 2），或者為振盪的 sinc 和漣漪函數使用較寬的範圍（例如 -8 到 8）。奇異點（如 1/x）會自動被裁剪 — 但它們周圍的曲面可能仍會拉大顏色範圍。在分母中加入一個小的常數（例如 1/(x²+y²+0.1)）來使它們平滑。
我可以繪製隱式曲面或向量場嗎？
此繪圖器處理顯式曲面 z = f(x, y) — 每個 (x, y) 輸入對應一個 z 值。隱式曲面 F(x, y, z) = 0（例如球體 x²+y²+z²=1）和參數曲面需要移動立方體（marching-cubes）或參數繪圖器，這超出了本工具的範圍。有關向量場和斜率場，請參見相關的斜率場繪圖器。
如何儲存我的繪圖？
點擊視埠工具列中的 PNG 按鈕，將目前視角下載為高解析度 PNG. 該檔案會捕捉您設定的任何旋轉、縮放和色彩映射 — 因此請先將曲面旋轉到您最喜歡的角度，然後匯出。影像會以您的裝置像素比（device pixel ratio）進行渲染，以獲得清晰的簡報效果。
這個 3D 曲面繪圖器是免費的嗎？
是的。3D 曲面繪圖器完全免費，在提交表單後完全在您的瀏覽器中執行，無需註冊，且可產生無浮水印的匯出檔案。您可以無限制地將這些圖表用於作業、論文、簡報、部落格文章和商業專案。
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由 MiniWebtool 團隊製作。更新時間：2026-05-21
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