逆拉普拉斯轉換計算機

Q: 逆拉普拉斯轉換的數學定義是什麼？

正式定義為 f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds，其中積分是複平面上的圍線積分。在實務中，通常使用轉換表和代數技巧，而不是直接計算積分。

計算 F(s) 的逆拉普拉斯轉換以求得 f(t)。獲取逐步解題過程、視覺化圖表，並理解從頻域到時域的轉換。

逆拉普拉斯轉換計算機

快速範例 - 點擊載入

輸入 F(s) 函數

F(s) =

使用 ^ 表示次方，* 表示乘法。範例：1/(s^2+4)、s/((s-1)*(s+2))

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逆拉普拉斯轉換計算機

工程數學

頻域

F(s)

逆拉普拉斯

時域

f(t)

歡迎使用 **逆拉普拉斯轉換計算機**，這是一個強大的工具，用於將函數從複頻域 $ F(s) $ 轉換回時域 $ f(t) $。對於處理微分方程、控制系統、電路分析和訊號處理的工程師、數學家、物理學家和學生來說，這是不可或缺的工具。

什麼是逆拉普拉斯轉換？

The **逆拉普拉斯轉換** 是拉普拉斯轉換的逆運算。給定 s-域（複頻域）中的函數 $ F(s) $，它能找出對應的時域函數 $ f(t) $。這是求解常係數線性微分方程的基礎。

正式定義

逆拉普拉斯轉換

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

在實務中，很少直接計算此圍線積分。相反，通常使用已知轉換對表和代數運算技巧來求逆轉換。

關鍵性質

線性性質

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

第一平移定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

第二平移定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

摺積定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

常用轉換對

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

如何使用此計算機

輸入 F(s)： 使用標準數學符號輸入您的函數。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，以及標準函數名稱。
點擊計算： 按下按鈕以使用符號數學計算逆拉普拉斯轉換。
查看結果： 查看時域函數 $ f(t) $、逐步解題過程以及兩個函數的圖形視覺化。

應用

控制系統： 將轉移函數轉換為時域行為以分析系統響應
電路分析： 求解 RLC 電路並確定暫態響應
訊號處理： 理解濾波器響應和訊號轉換
微分方程： 尋找常係數常微分方程的解析解
機械系統： 分析振動、阻尼和機械響應

輸入語法指南

基本運算子： +、-、*、/、^（次方）
括號： 使用 ( 和 ) 進行分組
變數： 使用 s 作為複頻率變數
函數： exp(x)、sin(x)、cos(x)、sqrt(x)、log(x)
常數： 使用 pi 表示 $\pi$，E 表示歐拉數

常見問題

什麼是逆拉普拉斯轉換？

逆拉普拉斯轉換是一種數學運算，將函數 F(s) 從複頻域（s-域）轉換回時域 f(t)。它是拉普拉斯轉換的逆運算，對於求解工程和物理中的微分方程至關重要。

如何使用逆拉普拉斯轉換計算機？

使用標準數學符號輸入您的函數 F(s)（例如：1/(s-7)、s/(s^2+4)、exp(-2*s)/s）。點擊「計算」以獲取逆拉普拉斯轉換 f(t)，以及逐步解題過程和頻域與時域函數的圖形視覺化。

支援哪些類型的函數？

本計算機支援有理函數（多項式除以多項式）、指數函數、嵌入 s-域表達式的三角函數及其組合。常見形式包括 1/(s-a)、n!/(s^(n+1))、s/(s^2+b^2) 以及更複雜的表達式。

逆拉普拉斯轉換的數學定義是什麼？

正式定義為 $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $，其中積分是複平面上的圍線積分。在實務中，通常使用轉換表和代數技巧，而不是直接計算積分。

為什麼逆拉普拉斯轉換在工程中很重要？

工程師使用逆拉普拉斯轉換來分析線性非時變系統、解決電路問題、設計控制系統以及理解訊號處理。它將 s-域中的代數方程轉換回時域中的微分方程解。

其他資源

引用此內容、頁面或工具為：

"逆拉普拉斯轉換計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/逆拉普拉斯轉換計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 MiniWebTool 團隊製作。更新日期：2026年1月24日

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\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

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什麼是逆拉普拉斯轉換？

正式定義

關鍵性質

常用轉換對

如何使用此計算機

應用

輸入語法指南

常見問題

什麼是逆拉普拉斯轉換？

如何使用逆拉普拉斯轉換計算機？

支援哪些類型的函數？

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為什麼逆拉普拉斯轉換在工程中很重要？

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