負二項分布計算機

負二項分布計算機

負二項分布計算機可計算達成目標成功次數前所需的失敗次數（或總試驗次數）的精確機率。輸入所需成功次數 (r)、每次試驗成功機率 (p) 以及您的目標值 (k)，即可獲得點機率和累積機率、逐步解題過程、互動式圖表以及試驗序列視覺化。

什麼是負二項分布？

負二項分布是一種離散機率分布，模型化了一系列獨立伯努利試驗中，在發生指定成功次數前的失敗次數。每次試驗具有相同的成功機率 p。它回答了諸如「在達成第 5 筆成交前，我會打多少通失敗的銷售電話？」或「在找到 10 個良品前，我會檢查到多少個瑕疵品？」等問題。

該分布因其推導過程中使用負二項級數展開而得名。它是幾何分布的推廣，幾何分布是 r = 1（需要一次成功）時的特殊情況。

兩種常見參數化方式

負二項分布有兩種等效公式，區別在於隨機變數計算的內容：

• 失敗次數參數化 (X)：X 僅計算第 r 次成功前的失敗次數。X 的取值可以是 0, 1, 2, 3, ...。PMF 為 P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k。
• 總試驗次數參數化 (Y)：Y 計算直到第 r 次成功為止的總試驗次數（包括成功和失敗）。Y 的取值可以是 r, r+1, r+2, ...。其關係為 Y = X + r。

此計算機支援這兩種方式。使用切換按鈕可在輸入 k 為失敗次數或總試驗次數之間進行切換。

負二項分布 PMF 公式

在失敗次數參數化下，機率質量函數為：

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

其中 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) 是二項式係數。項 C(k + r − 1, r − 1) 計算在最後一次試驗必須是成功的前提下，在前 k + r − 1 次試驗中排列 k 次失敗和 r − 1 次成功的方法數。項 p^r 是 r 次成功的機率，而 (1 − p)^k 是 k 次失敗的機率。

平均值、變異數及其他統計量

對於具有參數 r 和 p 的負二項隨機變數 X（失敗次數參數化）：

• 平均值： μ = r(1 − p) / p
• 變異數： σ² = r(1 − p) / p²
• 標準差： σ = √(r(1 − p) / p²)
• 眾數： 當 r > 1 時為 ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋；當 r = 1 時為 0
• 偏態： (2 − p) / √(r(1 − p))

對於總試驗次數參數化 Y = X + r，平均值移至 r/p，變異數保持不變。

與其他分布的關係

• 幾何分布：r = 1 時的特殊情況。模型化第一次成功前的失敗次數。
• 二項分布：二項分布固定試驗次數並計算成功次數，而負二項分布則固定成功次數並計算試驗/失敗次數。
• 卜瓦松分布：負二項分布可被視為卜瓦松-伽瑪混合分布。當 r → ∞ 且 p → 1，同時保持 r(1 − p)/p 不變時，負二項分布趨近於卜瓦松分布。

常見應用

• 銷售與行銷 — 在已知轉化率的情況下，銷售人員需要打多少通電話才能達成目標成交數？
• 品質管制 — 必須檢查多少個項目才能找到目標數量的合格品？
• 臨床試驗 — 在獲得目標數量的正面反應前，需要招募多少名患者？
• 保險 — 當變異數超過平均值（相對於卜瓦松分布的過度離散）時，模型化理賠次數。
• 生態學 — 模型化計數數據比卜瓦松模型允許的變異性更大的物種豐度數據。
• 體育分析 — 運動員在達到目標次數的成功結果前，需要進行多少次投籃或嘗試？

如何使用此計算機

1. 輸入 r，即您想要達到的成功次數 (r ≥ 1)。
2. 輸入 p，即每次試驗成功的機率 (0 < p ≤ 1)。
3. 選擇輸入模式：k 代表失敗次數還是總試驗次數。
4. 輸入 k，即您想要查找機率的特定值。
5. 點擊「計算機率」以查看精確機率和累積機率、逐步組合解題過程、試驗序列視覺化、PMF/CDF 圖表以及完整的分布表。

常見問題

負二項分布與二項分布有什麼區別？

二項分布固定試驗次數並計算隨機的成功次數。負二項分布固定成功次數並計算隨機的試驗次數（或失敗次數）。它們回答互補的問題：二項分布問「n 次試驗中有多少次成功？」，而負二項分布問「直到 r 次成功需要多少次試驗？」

什麼時候應該使用負二項分布而不是卜瓦松分布？

當您的計數數據顯示過度離散（即變異數大於平均值）時，請使用負二項分布。卜瓦松分布假設平均值和變異數相等。負二項分布有一個額外的參數，允許變異數超過平均值，使其更適合許多現實世界的計數數據集。

r = 1 代表什麼意思？

當 r = 1 時，負二項分布簡化為幾何分布，模型化第一次成功前的失敗次數。例如，在出現第一次人頭前，硬幣出現反面的次數。

p 可以等於 0 或 1 嗎？

機率 p 必須嚴格大於 0。如果 p = 0，則不可能成功，因此您需要無限次的試驗。如果 p = 1，則每次試驗都是成功的，因此失敗次數始終為 0，分布是退化的（所有機率質量都在 k = 0 處）。此計算機將 p = 1 作為特殊情況接受。

負二項分布如何應用於回歸？

負二項回歸是卜瓦松回歸的推廣，用於計數數據呈現過度離散的情況。它增加了一個離散參數，允許條件變異數超過條件平均值。常見應用包括模型化就醫次數、交通事故頻率和物種豐度數據。

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