万花尺图案生成器
在线生成经典的万花尺（繁花曲线）图案。模拟当一个小圆在大固定圆的内部或外部滚动时，画笔所追踪出的内摆线和外摆线。最多可叠加三支画笔以绘制曼陀罗图案，调整三个半径参数，观看曲线自动绘制的过程，然后导出为清晰的 SVG 或 PNG 格式。
\( x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
\( y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
当 R = 96、r = 36、d = 30 时，曲线在 \( t \in [0, 2\pi \cdot 3] \) 范围内闭合。
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万花尺图案生成器
万花尺图案生成器能够模拟经典万花尺玩具所绘制的曲线 — 当一个小圆在另一个较大的固定圆内侧（或外侧）无滑动滚动时，附着在小圆上的画笔会留下一条轨迹，从而形成美丽、完美对称的玫瑰窗图案。本工具应用了内摆线和外摆线背后真实的参数方程，通过计算两个半径的最大公约数（GCD）来得出精确的闭合周期，并允许您叠加多达三层画笔以获得曼陀罗效果。您只需调节三个滑块，即可实时查看预览更新，然后将高分辨率曲线导出为 SVG 或 PNG 格式。
万花尺数学原理具体是如何工作的
灰色虚线圆是半径为 R 的固定圆。紫色圆盘在它的内侧无滑动地滚动。一支画笔（橙色）安装在滚动圆盘上，与圆心的距离为 d。随着滚动圆的公转自转，画笔会留下一条曲线。这里的动画展示了一个完整的循环绘制过程 — 您在下方生成的万花尺图案也遵循相同的物理学原理。
核心关键点在于：只有当参数角度回到 \( 2\pi \) 的倍数，且滚动圆也恰好完成了整数圈的自转时，曲线才会自我闭合。在大圆公转了整整 r / gcd(R, r) 圈后，这两个条件会同时满足。这就是为什么此工具首先会计算 gcd(R, r) — 这样能确保导出的图案在数学上是完美闭合的，没有任何可见的接缝。
参数方程
$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$
$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$
如果 \( d = r \)，该曲线就是一个带有尖锐尖点的内摆线（3个尖点为三尖瓣线，4个尖点为星形线）。如果 \( d < r \)，曲线会拥有圆润的花瓣（短内摆线）。如果 \( d > r \)，花瓣会形成长长的环圈（长内摆线）。
$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$
$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$
如果 \( d = r \)，该曲线就是一个带有向外尖点的外摆线（1个尖点为心脏线，2个尖点为肾形线）。如果 \( d < r \)，环圈呈短外摆线状；如果 \( d > r \)，则呈长外摆线状。
是什么让这款万花尺图案生成器与众不同
计算花瓣：快速指南
对于内摆线，叶瓣（或当 \( d = r \) 时的尖点）的数量等于 \( R / \gcd(R, r) \)。以下是一些经典示例：
- R = 4, r = 1, d = 1 → 星形线（4个尖点）。经典的“内凹四角星”。
- R = 3, r = 1, d = 1 → 三尖瓣线（3个尖点）。也称为斯坦纳曲线。
- R = 96, r = 36, d = 30 → 8瓣玫瑰窗图案。因为 \( \gcd(96, 36) = 12 \) 且 \( 96 / 12 = 8 \)。
- R = 105, r = 30, d = 72 → 7角星。具有长长且自相交的环状花瓣（因为 \( d > r \)）。
- R = 120, r = 45, d = 48 → 8叶蕾丝图案。略带短内摆线特征的花瓣交织在一起。
对于外摆线，同样的公式也适用于“外侧”几何图形 — 当 \( d = r \) 时，会产生 \( R / \gcd(R, r) \) 个向外的尖点。
简短历史
该领域的数学研究可以追溯到 1525 年的阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Dürer），他在绘制几何装饰时研究了外摆线。罗默（Roemer，1674年）和伯努利（Bernoulli，18世纪初）将这些参数方程进行了形式化。大多数人熟知的玩具 — 带有“Spirograph”商标的鲜艳塑料齿轮 — 是由英国工程师丹尼斯·费舍尔（Denys Fisher）于 1965 年发明的，并在次年由 Kenner 公司发行。它迅速风靡全球，并于 1967 年荣获英国年度玩具奖。费舍尔最初开发这个齿轮系统是为了设计复杂的弹簧承载机构，玩具的诞生纯属一个美丽的意外。
如今，内摆线和外摆线的应用早已超越了手工艺领域：它们出现在 汪克尔转子发动机（Wankel rotary engines）中（转子外形遵循外摆线轨迹）、钞票和奢侈腕表上的 断线网状雕刻（Guilloché）、利萨茹风格的示波器艺术（Lissajous-style oscilloscope art），以及用于海报、刺绣和激光切割的生成艺术工具（Generative-art tooling）中。
输出结果的实际应用
- 印刷与海报设计：采用“8瓣玫瑰窗图案 + 金箔调色板 + 象牙白纸张”导出的矢量 SVG，可以作为高档婚礼请柬的精致点缀。
- 激光切割与雕刻：闭合曲线是一条连续的路径，非常适合机器寻轨。导出 SVG 并将其导入 LightBurn 或 RDWorks 中即可使用。
- 刺绣数字化：高密度的分层多笔曼陀罗模式可以产生流畅无跳线的机绣针迹路径。
- 数学与艺术课堂：将 r 的数值改变 1，观察花瓣数量的变化 — 这是解释为什么最大公约数在周期函数中至关重要的视觉实证。
- 生成艺术：导出的 SVG 文件是完全可编辑的。在 Illustrator 中打开，为闭合曲线填充渐变，再以“正片叠底”模式融入照片背景中。
- 徽标装点：黑白单色调色板 + 单笔画 + 较小的 d 可以生成纤细优雅的玫瑰窗图案，在名片上缩放时能保持极佳的清晰度。
如何打造精美设计的诀窍
- 利用质数比获得极高密度的叶瓣。 尝试 R = 113, r = 30（GCD 为 1，因而会产生 113 个叶瓣 — 呈现出浓密的蕾丝感）。然后再试 R = 120, r = 30（GCD 为 30，只有 4个叶瓣 — 清爽的星形）。
- 让 d 大于 r 以生成重叠环圈。 当 \( d > r \) 时，花瓣会自我重叠 — 尝试 R = 90, r = 36, d = 80，可以绘制出带有自相交花瓣的奇妙花朵。
- 缩小 d 获得圆润娇嫩的花瓣。 相对于 r 而言较小的 d 值会带来温柔、“圆润雏菊”般的外观。非常适合用于卡片和礼品标签。
- 叠加画笔增加画面深度。 保持相同的 R、r、d，但将画笔图层设为 3，无需更改其他任何内容，就能瞬间创造出具有 3D 层次感的同心设计。
- 工程蓝图 + 海洋调色板 = 科技感草图。 适用于技术风插图和幻灯片高亮配图。
- 网格纸 + 黑白墨水 = 教科书图表。 非常适合用来制作可打印的数学练习册。
常见问题解答
在数学上什么是万花尺曲线？
万花尺描绘的是内摆线（一个小圆在较大的固定圆内部滚动）或外摆线（一个小圆在外部滚动）。这些曲线通过带有三个半径的参数方程来描述：R 代表固定圆，r 代表滚动圆，d 代表画笔离开滚动圆圆心的偏移量。
R、r 和 d 究竟代表什么意思？
R 是大固定圆的半径，r 是小滚动圆的半径，d 是画笔到滚动圆圆心的距离。如果 d 等于 r，画笔位于圆盘边缘，曲线会形成尖锐的尖点；较小的 d 会带来圆润舒展的花瓣（短内摆线）；较大的 d 则会产生长长且相互交织的环状花瓣（长内摆线）。
为什么图案总能闭合成一个闭环？
该计算器会求出 R 和 r 的最大公约数。曲线在滚动圆旋转 r / gcd(R, r) 圈后会精确闭合，其结果拥有 R / gcd(R, r) 个旋转对称的叶瓣。利用最大公约数能够保证画笔完美返回起点，绝无任何穿帮接缝，无论 R/r 比例表面上多么不规则（我们将其视为整数处理）。
内摆线和外摆线有什么区别？
内摆线使用一个小圆在较大圆的内侧滚动 — 这是经典的万花尺玩具形态。外摆线则是让小圆在外侧滚动。内摆线视觉上像是指向内部的玫瑰窗（花瓣汇聚向圆心）；外摆线则更像是向外绽放的花朵或齿轮外轮廓（花瓣背离圆心）。汪克尔转子发动机便是采用了外摆线作为其转子壳体的形状。
什么是多笔曼陀罗模式？
选择两层或三层画笔会使用不同的调色板颜色、以逐渐递减的 d 值多次描绘同一条曲线。因为每支笔都拥有独特的偏移量，这些图层就像层层花瓣一样细腻嵌套，只需一组输入即可呈现出繁复的曼陀罗或蓝果丽装饰效果。无需进行繁琐的图层后期合成 — 这是一个数学公式直接渲染出多条笔触的结果。
我可以导出万花尺图案吗？
可以。下载 SVG 能够获得在任何尺寸下都能保持锐利清晰的矢量文件 — 完美对应打印印刷、刺绣数字化、刻字机裁剪或在 Illustrator、Inkscape 中做进一步矢量设计。下载 PNG 会将图案渲染为高分辨率位图，便于插入演示文稿或分享至社交媒体。复制代码可将原始 SVG 文本放入剪贴板，方便您直接嵌入网页或在聊天中发送。
这个工具是免费使用的吗？
是的。万花尺图案生成器完全免费，全程在您的个人浏览器中安全运行，无需注册登录，导出的作品也绝不添加任何水印。您所生成的精美图案资产完全归您所有，无论是用于个人研究还是商业项目、打印出版、售卖盈利、二次混剪，或是缝制成拼布被面均可。
为什么有些曲线是尖尖的，而有些是圆滑的？
尖刺（尖点）的数量取决于 R / gcd(R, r) — 这个计算出的整数便是叶瓣的数量。而尖刺的胖瘦形状则受 d 的控制：当 d 正好等于 r 时，您会得到极其尖锐的临界尖点（标准的内摆线或外摆线）；当 d 较小时，图案会呈现圆润肥硕的花瓣（短摆线）；而当 d 大于 r 时，花瓣会交织扭结成自相交的长长环圈（长摆线）。您可以尝试每次只更改一个数值来感知这种精妙的物理联动。
这和利萨茹曲线有什么不同？
利萨茹曲线（Lissajous curves）源于在 X 轴和 Y 轴上各自独立的简谐振动复合 — 其方程表现为 x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt)。而万花尺曲线则诞生自一个小圆沿另一个大圆外壁或内壁无滑动完美滚动。利萨茹图案整体嵌在矩形框架内；而万花尺图案则完全依附于圆形框架。虽然由于两者同属周期性 2D 曲线而带有一定的家族神似感，但其底层的物理生成机制截然不同。
为什么实时预览看起来和最终的渲染结果有轻微的区别？
为了保证在您敲击键盘和拖动滑块时浏览器能够实现微秒级的流畅交互，实时预览调低了采样点的数量。而最终提交生成的图表会根据曲线的数学复杂程度精细采样 900 到 7,200 个高密度坐标点，从而呈现出无比平滑细腻的线条。两者在数学基因上完全一致，唯一的区别仅仅在于分辨率高低。
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