複素数電卓

複素数電卓

私たちの複素数電卓へようこそ。これは、複素数に対して様々な操作を行い、詳細なステップバイステップの解決策と視覚化を提供する包括的なツールです。この電卓は、数学や工学分野で複素数を扱う学生、エンジニア、その他の方々に最適です。

複素数電卓の機能

• 算術演算：複素数の加算、減算、乗算、除算。
• 変換：直交座標形式と極座標形式の間で変換。
• 複素関数：複素数の絶対値、偏角、共役、冪、根を計算。
• ステップバイステップの解決策：計算に含まれる各ステップを理解。
• 視覚化：複素平面上に複素数をプロット。

複素数の理解

複素数は、 \( a + bi \) の形で表される数であり、ここで \( a \) と \( b \) は実数で、 \( i \) は \( i^2 = -1 \) を満たす虚数単位です。

直交座標形式

直交座標形式では、複素数は \( z = a + bi \) と表されます。

極座標形式

極座標形式では、複素数は \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) または \( z = re^{i\theta} \) と表されます。ここで：

• \( r = |z| \) は \( z \) の絶対値
• \( \theta = \arg(z) \) は \( z \) の偏角

演算の説明

以下は、この電卓を使用して複素数に対して実行できる操作とそれぞれの公式です：

加算

直交座標形式で2つの複素数を加算する：

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

減算

直交座標形式で1つの複素数から別の複素数を減算する：

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

乗算

直交座標形式で2つの複素数を乗算する：

\[ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

または、極座標形式で：

\[ re^{i\theta} \times se^{i\phi} = (rs)e^{i(\theta + \phi)} \]

除算

直交座標形式で1つの複素数を別の複素数で除算する：

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

極座標形式で：

\[ \frac{re^{i\theta}}{se^{i\phi}} = \left(\frac{r}{s}\right)e^{i(\theta - \phi)} \]

絶対値

複素数 \( z = a + bi \) の絶対値は次のように計算されます：

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

偏角

複素数 \( z = a + bi \) の偏角 \( \theta \) は、正の実軸と形成する角度であり、次のように計算されます：

\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

共役

複素数 \( z = a + bi \) の共役は：

\[ \overline{z} = a - bi \]

直交座標から極座標への変換

複素数を直交座標形式から極座標形式に変換するには：

\[ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] \[ z = re^{i\theta} \]

極座標から直交座標への変換

複素数を極座標形式から直交座標形式に変換するには：

\[ z = re^{i\theta} \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta \] \[ z = a + bi \]

冪

複素数 \( z \) を極座標形式で整数冪 \( n \) に上げるには：

\[ z^n = \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} \]

直交座標形式では、二項展開を使用します：

\[ (a + bi)^n \]

根

極座標形式で複素数 \( z = re^{i\theta} \) の \( n \) 次根を求めるには：

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

複素数電卓の使い方

• 1. 最初の複素数を希望の形式（直交座標または極座標）で入力します。
• 2. 実行したい操作を選択します。
• 3. 必要に応じて、第2複素数を入力します。
• 4. 入力形式と出力形式を指定します。
• 5. 冪や根などの操作の場合、必要な指数を提供します。
• 6. 「計算」をクリックして入力を処理します。
• 7. ステップバイステップの解決策とグラフとともに結果を表示します。

複素数の応用

複素数は、以下のようなさまざまな分野で広く使用されています：

• 電気工学：交流回路の解析。
• 量子物理学：量子状態の記述。
• 信号処理：フーリエ変換とフィルター。
• 制御システム：安定性解析。
• 数学：多項式方程式の解法。

追加リソース

複素数とその応用に関する詳細情報については、以下のリソースを参照してください：

• 複素数 - Wikipedia
• 複素数入門 - Khan Academy

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