球の方程式電卓

球の方程式電卓へようこそ。このツールは、球の標準方程式と一般方程式を求めるための包括的な3D幾何学ツールです。中心座標と半径を知っている場合でも、直径の2つの端点を知っている場合でも、この電卓はステップバイステップの導出、インタラクティブな3D可視化、表面積や体積を含む完全な幾何学的特性を提供します。

球の方程式とは何ですか？

球とは、中心と呼ばれる固定点から等距離にある3次元空間内のすべての点の集合です。その一定の距離を半径と呼びます。球の方程式は円の方程式を3次元に拡張したもので、3番目の座標変数が追加されています。

標準形（中心-半径形式）

中心 \((a, b, c)\) で半径 \(r\) の球の標準方程式は以下の通りです：

ここで：

• \((a, b, c)\) は球の中心
• \(r\) は半径（正の実数）
• \((x, y, z)\) は球の表面上の任意の点を表します

一般形（展開形）

標準形を展開すると一般方程式が得られます：

ここで：

• \(D = -2a\)、\(E = -2b\)、\(F = -2c\)
• \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)
• 中心: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2}\right)\)
• 半径: \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} + \frac{F^2}{4} - G}\)

直径の端点から球の方程式を求める方法

直径の2つの端点 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) と \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) がわかっている場合：

1. 中心を求める（直径の中点）： $$C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
2. 半径を求める（直径の長さの半分）： $$r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
3. 方程式を書く：中心と半径を標準形に代入します。

球 vs 円：主な違い

この電卓の使い方

1. 入力モードを選択： 中心点と半径がわかっている場合は「中心と半径」を、直径の両端点がわかっている場合は「直径の2つの端点」を選択します。
2. 値を入力： 座標フィールドを入力します。クイック例ボタンを使用して、ツールの動作を確認できます。
3. 精度を設定： 結果の小数点以下の桁数（2〜15）を選択します。
4. 計算： 「球の方程式を計算」をクリックすると、標準方程式、一般方程式、ステップバイステップの導出、幾何学的特性、およびインタラクティブな3D可視化が表示されます。

計算される幾何学的特性

• 表面積： \(A = 4\pi r^2\) — 球の外側の表面の総面積
• 体積： \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) — 球に囲まれた空間
• 直径： \(d = 2r\) — 中心を通る最も長い弦
• 大円の円周： \(C = 2\pi r\) — 最大の断面の周囲の長さ

実世界での応用

物理学と工学

球の方程式は、天体、泡、圧力容器、電磁場をモデル化します。この方程式は、3Dシミュレーションにおける距離、交差、包含チェックの計算に役立ちます。

コンピュータグラフィックスとゲーム開発

球の方程式は、衝突検出におけるバウンディングボリューム、レイトレーシングのためのレイと球の交差テスト、手続き型の地形生成に使用されます。

地理とナビゲーション

地球は多くの計算で球として近似されます。球の方程式は、GPS座標変換や衛星軌道計算に役立ちます。

建築とデザイン

ドーム構造、プラネタリウム、ジオデシックデザインは球の幾何学に依存しています。建築家は球の方程式を使用して、構造の寸法や材料の要件を計算します。

よくある質問

球の標準方程式とは何ですか？

中心が \((a, b, c)\) で半径が \(r\) の球の標準方程式は \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\) です。この方程式は、中心点から正確に距離 \(r\) にある3D空間内のすべての点を表します。

直径の端点から球の方程式を求めるにはどうすればよいですか？

2つの端点 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) と \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) が与えられた場合：中点として中心を求め、点間の距離の半分として半径を計算し、標準形に代入します。

球の方程式の一般形とは何ですか？

一般形は \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) です。ここで \(D = -2a\)、\(E = -2b\)、\(F = -2c\)、\(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\) です。中心は \((-D/2, -E/2, -F/2)\) で、半径は \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\) です。

球と円の方程式の違いは何ですか？

円の方程式 \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) は2次元で中心 \((h, k)\) を持ちます。球の方程式はz座標の第3項を追加します。球は円を3次元に一般化したものです。

一般方程式から中心と半径を求めるにはどうすればよいですか？

\(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) から、中心は \((-D/2, -E/2, -F/2)\) で、半径は \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\) です。有効な球となるには、平方根の中の式が正でなければなりません。

追加リソース

• 球 - Wikipedia
• n次元球面（高次元への一般化） - Wikipedia